施密特正交化

施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求歐氏空間正交基的一種方法。從歐氏空間任意線性無關的向量組α1，α2，……，αm出發，求得正交向量組β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm與向量組β1，β2，……，βm等價，再將正交向量組中每個向量經過單位化，就得到一個標準正交向量組，這種方法稱為施密特正交化。

基本介紹

• 中文名：施密特正交化
• 外文名：Gram-Schmidt Orthogonalization
• 作用：由線性無關向量構造標準正交向量
• 套用領域：線性代數
• 證明方法：數學歸納法
• 提出者：格拉姆和施密特

方法簡介

線性無關向量組未必是正交向量組，但正交向量組又是重要的，因此現在就有一個問題：能否從一個線性無關向量組 出發，構造出一個標準正交向量組 ，並且使向量組 與向量組 等價 呢?回答是肯定的，通過施密特正交化方法就可以實現。下面就來介紹這個方法，由於把一個正交向量組中每個向量經過單位化，就得到一個標準正交向量組，所以，上述問題的關鍵是如何由一個線性無關向量組來構造出一個正交向量組，我們以3個向量組成的線性無關組為例來說明這個方法。設向量組 線性無關，我們先來構造正交向量組 ，並且使 與向量組 等價 。按所要求的條件， 是 的線性組合， 是 的線性組合，為方便起見，不妨設

其中，數值 的選取應滿足 與 垂直，即

注意到 ，於是得 ，從而得

對於上面已經構造的向量 與 ，再來構造向量 ，為滿足要求，可令

其中， 的選取應滿足 分別於向量 與 垂直，即

由此解得

於是得

容易驗證，向量組 是與 等價的正交向量，若再將 單位化，即令

則 就是滿足要求的標準正交向量組。

定理

一般地，用數學歸納法可以證明：

設 是 中的一個線性無關向量組，若令

則 就是一個 正交向量組，若再令

就得到一個標準正交向量組 ，且該向量組與等價。

上述所說明的利用線性無關向量組，構造出一個標準正交向量組的方法，就是施密特正交化方法。