基本介紹
- 中文名：格拉姆矩陣
- 外文名：gram matrix
- 相關術語：格拉姆行列式
- 性質：格拉姆矩陣是半正定的
- 套用學科：線性代數
- 套用領域：量子化學和控制論
定義,例子,主要套用,矩陣性質,半正定,基變換,格拉姆行列式,
定義
一個重要的套用是計算線性無關：一族向量線性無關若且唯若格拉姆行列式（格拉姆矩陣的行列式）不等於零。
格拉姆矩陣以丹麥數學家約爾根·佩爾森·格拉姆（Jørgen Pedersen Gram）命名。
例子
最常見地，向量是歐幾里得空間中元素，或L空間中函式，比如閉區間[a,b] 上的連續函式（是L（[a,b]）的子集）。
給定區間
上的實值函式
，格拉姆矩陣
，由函式的標準內積給出：
給定一個實矩陣A，矩陣AA是A的列向量的格拉姆矩陣，而矩陣AA是A的行向量的格拉姆矩陣。
對一般任何域上的有限維向量空間上的雙線性形式B，我們可對一組向量
定義一個格拉姆矩陣G為
。如果雙線性形式B對稱則該格拉姆矩陣對稱。
主要套用
在量子化學中，一組基向量的格拉姆矩陣是重疊矩陣（Overlap matrix）。
在控制論（或更一般的系統理論中），可控性格拉姆矩陣（controllability Gramian）與可觀測性格拉姆矩陣（observability Gramian）確定了線性系統的性質。
格拉姆矩陣出現在協方差結構模型中。
在有限元方法中，格拉姆矩陣出現在從有限維空間逼近函式時；格拉姆矩陣的元素是有限維子空間的基函式的內積。
矩陣性質
半正定
格拉姆矩陣是半正定的，反之每個半正定矩陣是某些向量的格拉姆矩陣。這組向量一般不是惟一的：任何正交基的格拉姆矩陣是恆同矩陣。
這個命題無窮維類比是Mercer 定理（Mercer's theorem）。
基變換
在一個由可逆矩陣 P 表示的基變換下，格拉姆矩陣是用 P 做一個矩陣契約變為 PTGP。
格拉姆行列式
格拉姆行列式（Gram determinant 或 Gramian）是格拉姆矩陣的行列式：
在幾何上，格拉姆行列式是這些向量形成的平行多面體的體積之平方。特別地，這些向量線性無關若且唯若格拉姆行列式不為零（若且唯若格拉姆矩陣非奇異）。
