朗伯W函式

朗伯W函式（Lambert W Function），又稱為“歐米加函式”或“乘積對數函式(product log function)”，是 f(w)=w.exp(w) 的反函式，其中exp(w) 是指數函式，w 是任意複數。對於任何複數 z ，都有：

. 由於函式 不是單射，因此函式 W 是多值的（除了0以外）。如果我們把 限制為實數，並要求 是實數，那么函式僅對於 有定義，在 內是多值的；如果加上 的限制，則定義了一個單值函式 （見圖）。我們有 ， ，通常 被記作 。而在 內的 分支，則記為 ，從 遞減為 。

朗伯W函式不能用初等函式來表示。它在組合數學中有許多用途，例如樹的計算。它可以用來解許多含有指數的方程，也出現在某些微分方程的解中，例如 。

朗伯W函式，在研究太陽能電池的實際模型中有比較重要的套用。

伯W函式為特殊函式。又稱為“歐米加函式”或“乘積對數函式。

基本介紹

• 中文名：朗伯W函式
• 外文名：Lambert W Function
• 命名：約翰·海因里希·朗伯
• 又稱：歐米加函式

命名

朗伯W函式(Lambert W Function)由約翰·海因里希·朗伯(Johann HeinrichLambert)命名。在Digital Library of Mathematical Functions(儲存特殊函式的數學運用的一個網路項目)中主分支

朗伯W函式兩個分支的圖像

被表示為

，分支 被表示為 。

微分與積分

微分

滿足微分方程

所以

此外，我們有

積分

函式 或一些包含 的表達式可運用代換 進行積分。( )

特殊的有

漸近展開式

函式 有泰勒展開式

收斂半徑為 。

對於大的數 ， 有漸近展開式

和

其中 ， ， 是非負的第一類斯特靈數(Stirling number of the first kind)。

在展開式中只留前兩項

另一分支 ，當 時有相似的漸進展開式， ， 。

複數次方

的平方有泰勒公式

更一般的情況下，當 是整數，有

的 次方有泰勒公式

其中 是任意複數，

恆等式

用朗伯W函式的定義，我們有

特殊值

當 為一非0的代數數時， 為超越數。如果 為非0的代數數，運用林德曼-魏爾斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem）， 一定是超越的，因此 也是超越數。

其中 為歐米加常數(Omega constant)。

舉例介紹

朗伯W函式可以解許多包含指數函式 的方程。其中主要的方法是把所有未知數移向一邊，令方程變成 形式，解出 。

例子1

更一般的

其中 ，可以使用代換

解出

因此最後答案為

如果 ，方程有第二個解

例子2

或

因為根據定義，有

例子3

關於超-4運算(tetration，另見超運算)的方程

如果超運算收斂至一個數 ，則

解出

例子4

的解為

例子5

延遲微分方程(delay differential equation)

的特徵方程為

解出

其中 為朗伯W函式的分支。如果 ，則只用考慮其主分支 。

數值估算

朗伯W函式可以用牛頓疊代法(Newton's method)求其近似值 使 。

函式亦可以使用哈雷疊代法(Halley's method)求近似值。