基本介紹
- 中文名：有限生成群
- 外文名：finitely generated group
- 領域：代數
- 科目：無限群論
- 對應概念：有限群
- 性質：可解群
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概念
有限生成群(finitely generated group)是無限群論研究的重要對象之一。指除有限群外最熟悉的滿足有限性條件的群。已知存在
種非同構的有限生成群，甚至有
種非同構的有限生成的可解群；並且每一可數群可以嵌入一個2生成元群，所以即使是2生成元群都可能有非常複雜的結構。這說明群的有限生成性是一種非常弱的有限性條件。若群G有一個呈示，其生成元集和定義關係集都是有限的，則稱G是有限呈示群。已經證明，只存在可數多種非同構的有限呈示群。可解的有限呈示群是目前無限群研究的重要對象。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
有限群
有限群是循環群的任一直積是有限交換群。反之，任一有限交換群必具有這種形式。特別，其階為素數的所有有限群皆是循環群。
非交換的有限群之研究目前基本上停留在p-群的概念上. 這是指其階為一個素數p的冪的有限群.有限群G的所有最大p-子群叫做G的西羅子群;G的所有西羅p-子群都是共軛的，而它們的公共階是能整除G的階的p之最大冪.
具有有限多個元素的群，是群論的重要內容之一。其所含元素的個數，稱為有限群的階。歷史上，抽象群論的許多概念起源於有限群論。有限群可分為兩大類：可解群與非可解群(即單群)。
有限群的研究起源很早，其形成時期是與柯西、拉格朗日、高斯、阿貝爾以及後來的伽羅瓦、若爾當等人的名字相聯繫的。如何確定可解群和單群是抽象群理論建立後的一個重要發展方向。德國數學家赫爾德在1889年以後的若干年內，詳細地研究了單群和可解群，證明：一個素數階循環群是單群，n個(n≥5)文字的全部偶置換組成的交換群是單群。他還發現了許多其他有限的單群。赫爾德和若爾當還建立了在有限群中的若爾當—赫爾德合成群列和若爾當—赫爾德定理。在19世紀末，德國數學家弗羅貝尼烏斯、迪克和英國數學家伯恩塞德等都致力於可解群的研究。20世紀初伯恩塞德證明的關於pq(p、q是素數)必是可解群的定理，導致了對有限單群進行分類的重要研究。美國數學家湯普森和菲特在20世紀60年代初證明了有限群中長期懸而未決的一個猜想(見伯恩塞德猜想)：奇數階群一定是可解群。它推動了有限群理論的發展。有限單群的完全分類，即找出有限單群所有的同構類，經過上百名數學家約40年的共同努力，終於在1981年得到解決，這是數學史上的一個非凡成就。
無限群論
群論的一個獨立分支.主要研究無限群(元素個數無限的群)的理論。19世紀末，由於幾何和拓撲研究的需要，無限群作為由一系列生成元及定義關係所定義的群出現。克萊因(Klein，C.F.)、李(Lie，M.S.)等對無限群的產生有很大的影響.20世紀20年代和30年代，貝爾(Baer，R.)、施米特(Щмирт，О.Ю.)和庫洛什(Курош，А.Г.)等對無限群的發展起了重要作用.不假定群階有限性而敘述群論基礎的第一本書是1916年出版的施米特的《抽象群論》.由於各國群論工作者，特別是德國、英國和蘇聯的群論專家的努力，使無限群論日趨完善，到20世紀40年代已經形成獨立的理論體系，成為群論的一個新分支，其中最精彩的理論是霍爾(Hall，P)和馬爾采夫(Малцев，А.И.)關於無限可解群的工作.1940年出版的庫洛什的名著《群論》對無限群論的發展起了重要作用，特別是1955年出版的這本書第二版的英譯本。魯賓孫(Robinson，D.J.S.)於1972年出版的《有限性條件和廣義可解群》是繼庫洛什的《群論》之後最重要的無限群著作之一。
無限群論的大量工作是將有限群的許多好的結果推廣到無限群中去。這樣，一方面就導致比群階的有限性弱的一些有限性條件；另一方面引入了一些在有限群中是等價的但在無限群中卻不同的性質，由此產生了許多種類的廣義可解群和廣義冪零群。正如庫洛什指出“……一個新的群論分支……它的任務是在某種意義上接近群階的有限性的條件限制下，研究在某種意義上接近阿貝爾群的群”。所以，無限群論的主要研究對象是廣義冪零群、廣義可解群和滿足所謂有限性條件的群。目前，無限群論仍然是一個比較活躍的數學分支。
可解群
可解群是一種重要的群類。即可由交換群經有限步疊加而得的群。若群G有一個有限長的正規群列G≥G1≥G2≥…≥Gn=1，使得每個商因子都是交換群，則稱G是一個可解群，或稱G是可解的。可解群的概念源自伽羅瓦(Galois，E.)對解代數方程的研究，他發現由一個代數方程的所有解可產生一個置換群(也就是擴域的自同構群，稱之為一個伽羅瓦群)，這個代數方程能用根式解出若且唯若該群具有正規列。可解群的名稱由此而來。霍爾(Hall，P.)於20世紀30—40年代對有限可解群理論做了奠基性貢獻。費特-湯普森奇階定理成為另一個里程碑.近幾十年，有限可解群研究仍屬活躍領域。例如群系等群類理論就始於有限可解群研究並以可解群為重點。對無限可解群的研究也有了長足的進步。儘管有限可解群的研究方法與成果不能完全推到無限可解群，但帶交換商因子的正規列這一定義條件使很多思想與工具，如模論、表示論等，均可發揮出色的作用。
