基本介紹
- 中文名：有限單元法
- 起初用途：最早套用於結構力學
- 目前用途：流體力學的數值模擬
- 基礎：變分原理和加權餘量法
內容簡述,解題步驟,
內容簡述
在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連線的單元，在每個單元內選擇基函式，用單元基函式的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函式可以看為由每個單元基函式組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。在河道數值模擬中，常見的有限元計算方法是由變分法和加權餘量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據所採用的權函式和插值函式的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權函式的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元格線的形狀來劃分，有三角形格線、四邊形格線和多邊形 格線，從插值函式的精度來劃分，又分為線性插值函式和高次插值函式等。不同的組合 同樣構成不同的有限元計算格式。對於權函式，伽遼金(Galerkin)法是將權函式取為逼近函式中的基函式 ；最小二乘法是令權函式等於餘量本身，而內積的極小值則為對代求係數的平方誤差最小；在配置法中，先在計算域 內選取N個配置點 。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程餘量為0。插值函式一般由不同次冪的多項式組成，但也有採用三角函式或指數函式組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函式。有限元插值函式分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導數值在插值點取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標，有對稱和不對稱等。常採用的無因次坐標是一種局部坐標系，它的定義取決於單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元套用的最早，近來四邊形等參元的套用也越來越廣。對於二維三角形和四邊形電源單元，常採用的插值函式為有Lagrange插值直角坐標系中的線性插值函式及二階或更高階插值函式、面積坐標系中的線性插值函式、二階或更高階插值函式等。
解題步驟
建立積分方程
根據變分原理或方程餘量與權函式正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發點。
區域單元剖分
根據求解區域的形狀及實際問題的物理特點，將區域剖分為若干相互連線、不重疊的單元。區域單元劃分是採用有限元方法的前期準備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節點進行編號和確定相互之間的關係之外，還要表示節點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節點序號和相應的邊界值。
確定單元基函式
根據單元中節點數目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條 件的插值函式作為單元基函式。有限元方法中的基函式是在單元中選取的，由於各單元 具有規則的幾何形狀，在選取基函式時可遵循一定的法則。
單元分析
將各個單元中的求解函式用單元基函式的線性組合表達式進行逼近；再將 近似函式代入積分方程，並對單元區域進行積分，可獲得含有待定係數(即單元中各節點 的參數值)的代數方程組，稱為單元有限元方程。
總體合成
在得出單元有限元方程之後，將區域中所有單元有限元方程按一定法則進 行累加，形成總體有限元方程。
邊界條件的處理
一般邊界條件有三種形式，分為本質邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對於自然邊界條件， 一般在積分表達式中可自動得到滿足。對於本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法 則對總體有限元方程進行修正滿足。
解有限元方程
根據邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉 方程組，採用適當的數值計算方法求解，可求得各節點的函式值。
