有效除子

除子(divisor)亦稱韋伊除子，是研究代數簇的重要工具之一，指不可約簇X上余維數為1的不可約子簇的代數和。具體地，若D表示X中不含於X的奇異軌跡之中且余維數為1的不可約子簇的全體，Div(X)表示以D為基的自由阿貝爾群，則Div(X)中的元稱為除子。設A=∑n_iA_i是一個除子，A_i是不可約子簇，若所有的n_i≥0，則稱A為有效除子，稱A_i為素除子。

基本介紹

• 中文名：除子
• 外文名：divisor
• 所屬學科：數學（代數幾何）
• 相關概念：除子、素除子、代數簇等

定義

除子(divisor)亦稱韋伊除子，是研究代數簇的重要工具之一，指不可約簇X上余維數為1的不可約子簇的代數和。具體地，若D表示X中不含於X的奇異軌跡之中且余維數為1的不可約子簇的全體， 表示以D為基的自由阿貝爾群，則 中的元稱為除子。設 是一個除子， 是不可約子簇，若所有的 ，則稱A為有效除子，稱 為素除子。例如，若X是余維數1正則的(即X的所有一維局部環都是正則環)射影簇，A是X上的素除子，則 是一個離散賦值環。若f是X上的非零有理函式，則對 的賦值 是個整數，且除了有限多個A之外， 。因此，可以定義f的除子

這種除子稱為主除子。若兩個除子 的差等於一個主除子，即 則稱D和D′是線性等價的。 關於線性等價的商群稱為X的除子類群，記為 。

詳細介紹

定義 設 是一個一維代數函式域， 的任何一個離散賦值環稱為一個素除子 ，由素除子全體所生成的自由Abel群稱為 的除子群，記作 ，其中的元素稱為除子。

設 按照一維函式域的定義，k在K中代數封閉，故 是k上的超越元，因此K是 的有限擴張，令 即環 在它的素理想 的局部化，則A是 的一個離散賦值環，它在K中只有有限多個擴張，這表明 只有有限多個不等價的離散賦值v滿足 。

定義 把 中的素除子全體所組成的集合記作 ，對任何 ，記 為P所對應的標準賦值．對於 ，除子 稱為一個主除子。主除子全體形成 的一個子群， 關於這個子群的商群稱為的Picard群，記作，Picard群有時也叫做除子類群，記作屬於同一個等價類里的兩個除子稱為是線性等價的，記為。

對任意它的剩餘類域k'是k的有限擴張，記稱為P的剩餘類域指數。設其中，則定義為D在點P的階，定義，又定義為D的次數，記作deg(D)。除子和分別叫做D的正的部分和負的部分。如果對每個成立，則稱D為一個有效除子。若且是有效除子，則記，特別不等式相當於說D是有效除子。設，定義

設C是代數閉域k上的光滑射影曲線，則C的除子、Picard群Pic(C)等概念都定義為C的函式域K(C)的相應概念。