時間複雜度

時間複雜度是同一問題可用不同算法解決，而一個算法的質量優劣將影響到算法乃至程式的效率。算法分析的目的在於選擇合適算法和改進算法。

計算機科學中，算法的時間複雜度是一個函式，它定性描述了該算法的運行時間。這是一個關於代表算法輸入值的字元串的長度的函式。時間複雜度常用大O符號表述，不包括這個函式的低階項和首項係數。使用這種方式時，時間複雜度可被稱為是漸近的，它考察當輸入值大小趨近無窮時的情況。

基本介紹

• 中文名：時間複雜度
• 外文名：Time Complexity
• 可用：不同算法解決
• 包括：算法的時間複雜度是一個函式
• 目的：考察當輸入值大小趨近無窮時

定義

在計算機科學中，算法的時間複雜度是一個函式，它定性描述了該算法的運行時間。這是一個關於代表算法輸入值的字元串的長度的函式。時間複雜度常用大O符號表述，不包括這個函式的低階項和首項係數。

算法複雜度

算法複雜度分為時間複雜度和空間複雜度。其作用： 時間複雜度是指執行算法所需要的計算工作量；而空間複雜度是指執行這個算法所需要的記憶體空間。（算法的複雜性體現在運行該算法時的計算機所需資源的多少上，計算機資源最重要的是時間和空間（即暫存器）資源，因此複雜度分為時間和空間複雜度）。

時間複雜度

計算方法

1.一般情況下，算法中基本操作重複執行的次數是問題規模n的某個函式，用T(n)表示，若有某個輔助函式f(n)，使得T(n)/f(n)的極限值（當n趨近於無窮大時）為不等於零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函式。記作T(n)=O(f(n))，稱O(f(n)) 為算法的漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。

分析：隨著模組n的增大，算法執行的時間的增長率和 f(n) 的增長率成正比，所以 f(n) 越小，算法的時間複雜度越低，算法的效率越高。

2. 在計算時間複雜度的時候，先找出算法的基本操作，然後根據相應的各語句確定它的執行次數，再找出 T(n) 的同數量級（它的同數量級有以下：1，log₂n，n，n log₂n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n!），找出後，f(n) = 該數量級，若 T(n)/f(n) 求極限可得到一常數c，則時間複雜度T(n) = O(f(n))

例：算法：

for(i=1; i<=n; ++i){    for(j=1; j<=n; ++j)    {        c[i][j] = 0;//該步驟屬於基本操作執行次數：n的平方次        for(k=1; k<=n; ++k)            c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];//該步驟屬於基本操作執行次數：n的三次方次    }}

則有 ，根據上面括弧里的同數量級，我們可以確定 n的三次方 為T（n）的同數量級

則有，然後根據 T(n)/f(n) 求極限可得到常數c

則該算法的時間複雜度：T(n) = O(n^3) 註：n^3即是n的3次方。

3.在pascal中比較容易理解，容易計算的方法是：看看有幾重for循環，只有一重則時間複雜度為O(n)，二重則為O(n^2)，依此類推，如果有二分則為O(logn)，二分例如快速冪、二分查找，如果一個for循環套一個二分，那么時間複雜度則為O(nlogn)。

分類

按數量級遞增排列，常見的時間複雜度有：

常數階O(1),對數階O(),線性階O(n),

線性對數階O(nlog2n),平方階O(n^2)，立方階O(n^3),...，

k次方階O(n^k),指數階O(2^n)。隨著問題規模n的不斷增大，上述時間複雜度不斷增大，算法的執行效率越低。

關於對其的理解

《數據結構（C語言版）》------嚴蔚敏 吳偉民編著 第15頁有句話“整個算法的執行時間與基本操作重複執行的次數成正比。”

基本操作重複執行的次數是問題規模n的某個函式f(n)，於是算法的時間量度可以記為：T(n) = O(f(n))

如果按照這么推斷，T(n)應該表示的是算法的時間量度，也就是算法執行的時間。

而該頁對“語句頻度”也有定義：指的是該語句重複執行的次數。

如果是基本操作所在語句重複執行的次數，那么就該是f(n)。

上邊的n都表示的問題規模。