時間導數是海峽兩岸化學工程領域的基礎術語，中文名稱為“時間導數”，外文名稱為“time derivative”。
2017年P. Lindqvist在《Differential and Integral Equations》期刊發表論文《THE TIME DERIVATIVE IN A SINGULAR PARABOLIC EQUATION》，聚焦奇異拋物方程中的時間導數數學分析，涉及進化p-Laplace方程相關研究。論文卷號為30，期號9-10，頁碼範圍795-808，文獻通過DOI 10.57262/die/1495850427可公開獲取。
時間導數是海峽兩岸化學工程領域的基礎術語，中文名稱為“時間導數”，外文名稱為“time derivative”。2017年P. Lindqvist在《Differential and Integral Equations...
導數是函式的局部性質。一個函式在某一點的導數描述了這個函式在這一點附近的變化率。如果函式的自變數和取值都是實數的話，函式在某一點的導數就是該函式所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函式進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。不是...
高階導數是導數領域的專業術語，特指二階及以上的導數，構成數學分析的基本概念。在導數語境中，二階導數定義為速度對時間的導數（即加速度），三階導數定義為二階導數的導數，依此類推形成n階導數的概念。高階導數通常採用兩種記法：符號標記為f(n)(x)，微分運算元形式寫作dn f/dxn。若函式具有n階導數，則稱其...
隨體導數是流體力學中描述流體質點物理量隨時間變化的術語，指在歐拉法中運動流體的物理量對時間的全導數，用於分析流體質點的加速度、密度等參數的變化特性。該導數由局部導數和位變導數組合而成，數學表達式為物理量N的隨體導數等於∂N/∂t與(u·∇)N之和，其中∂N/∂t表示物理量隨時間變化的局部導數，...
牛頓在寫於1671年的《流數法與無窮級數》中對流數的解釋是：“我把時間看作是連續的流動或增長，而其他的量則隨著時間而連續增長。我從時間流動性出發，把所有其他量的增長速度稱為流數。”也就是說，流數就是導數。牛頓將無窮小的時間間隔定義為“瞬間”（moment），而一個量的增量則是流數與瞬間的乘積。求導數...
右導數是函式在某一點右側的導數極限定義，用於刻畫函式在該點鄰域右側的變化率特徵。當函式在點x₀的右鄰域內有定義時，右導數存在意味著極限lim(Δx→0+)[f(x₀+Δx)-f(x₀)]/Δx存在，該極限值即為右導數值。函式在某點可導的必要條件是左右導數均存在且相等，這一判定條件在分析函式可導性時具有...
其數學表達為物理量N對時間的偏導數∂N/∂t，反映流場非恆定性引起的時變效應。在加速度分解公式a=∂u/∂t + (u·▽)u中，∂u/∂t即為局部導數代表的時變加速度。管路出流案例表明，在非恆定流條件下局部導數具有顯著表現。定義與數學表達 在歐拉法描述體系中，流體質點的物理量N隨時間變化的全...
在數學中，一個多變數的函式的偏導數，就是它關於其中一個變數的導數而保持其他變數恆定（相對於全導數，在其中所有變數都允許變化）。偏導數在向量分析和微分幾何中是很有用的。定義 設U⊂ℝⁿ，給定函式f:U→ℝ，p∈U，f在p點的第i偏導數定義為 Df(p)=lim(f(p+te)-f(p))/t=(f∘c)'(0...
質點導數（又稱物質導數）是流體力學中描述流體質點物理量隨時間變化率的核心概念。在拉格朗日框架下，它表示追蹤單個質點物理屬性的時變特性；在歐拉框架下，則由當地導數（固定空間點的時變率）與對流導數（質點運動引發的空間梯度變化）共同構成。該導數通過全微分形式表征流體運動中的總時變效應，是建立連續性方程、動量方程等流體運動微
還有其他組物理測量量依循這樣的關係，例如能量和時間。時間尺度微積分 在數學中，時間尺度微積分是差分方程理論與微分方程理論的統一，統一積分微分學與有限差分的微積分，為研究混合離散連續動力系統提供了一種形式主義。它在任何需要同時建模離散和連續數據的領域都有套用。它給出了一個導數的新定義如果一個函式微分...
拉格朗日導數（Lagrangian derivative）是天文學專有名詞，定義為DF/Dt=∂F/∂t+vi∂F/∂xi，用於描述流體運動中質點物理量隨時間變化的速率。該術語由中國天文學名詞審定委員會審定，收錄於《英漢天文學名詞》中。其數學表達式包含物質導數/全導數之和，體現質點軌跡追蹤的拉格朗日描述方法。與歐拉導數不同，它...
設一個非勻速直線運動的質點所行的路程 s與時間t的依賴關係是 s=f(t)。 如果要定義質點在某一給定時刻t的速度(瞬時速度),並計算出這速度的數值，考慮時刻t的一個鄰近值t1，在t到t1這段時間Δt=t1-t中，質點運動的路程是 △s=f(t1)-f(t)，從而這段路程上的平均速度是：在一般常見的情形，當Δt很小...
當地導數是力學中的一個重要概念，用於描述物理量在固定點處隨時間的變化率。這一概念由符號∂/∂t表示，其物理意義在於反映空間某固定位置上物理量隨時間變化的快慢程度。表示方法 當地導數在數學上由符號∂/∂t表示，這一符號在流體力學和連續介質力學中被廣泛採用，用於區分隨體導數（拉格朗日描述）和當地導數...
的時間導數 關於旋轉參考系的定義為：如果旋轉參考系的絕對角速度為 ，則 關於慣性參考系的導數 與關於旋轉參考系的導數 通過以下等式關聯：這裡的 表示矢量叉積。換句話說， 在慣性系中的變化率是其在旋轉系中表觀變化率和由旋轉系的運動引起的變化率 的總和。矢量 的大小 等於旋轉速率，並且根據...
角加速度（Angular acceleration）是描述角速度變化快慢和方向的物理量，單位為弧度/二次方秒（或1/s²），方向由右手螺旋法則確定。其計算公式為α=Δω/Δt，當物體角速度變化時即存在角加速度，瞬時角加速度是角速度對時間的導數。角加速度在定軸轉動剛體、復擺角諧振動等場景中均有體現，旋轉木馬啟動時角...
思考拉格朗日函式對於時間的全導數： 將拉格朗日方程代入，可以得到 定義能量函式 為 則能量函式與拉格朗日函式有以下含時關係式：假若拉格朗日量顯性地與時間無關， ，則能量函式是個常數： 。稱這常數 為這物理系統的能量。因此，這物理系統的能量守恆。分析原理 分析力學方面 在分析力學裡，一個動力系統的...
該應變率張量可以定義為應變張量的時間導數，或者定義為材料速度的梯度（相對於位置的導數）的對稱部分。使用選定的坐標系，應變率張量可以由實數的對稱3×3矩陣表示。應變率張量通常隨著材料內的位置和時間而變化，因此是（時變）張量場。它只描述了當地的一階變形速率；但是對於大多數目的來說，這通常是足夠的，即使...
導數運算關聯 導數符號f'(x)直接繼承自函式符號體系，右上角撇號標記微分運算 通過極限表達式$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$定義導數時，必須依賴f(x)的規範表達 在泰勒展開等高等數學內容中，f(x)符號系統支撐著複雜運算的公式推導 教學實踐表明，正確理解f(x)的映射...
常用的廣義坐標有線量和角量兩種。例如，對約束在空間固定曲線上運動的質點，可用自始點計量的路程s作廣義坐標；用細桿約束在豎直平面內擺動的質點，可用桿與鉛垂線的夾角θ作廣義坐標。廣義坐標對時間的導數稱廣義速度。同樣，因為問題需要也會有廣義加速度、廣義動量、廣義角動量等。例子 例如以長為l的細繩，懸掛...
從費馬原理，可以推導出斯涅爾定律。通過設定光程對於時間的導數為零，可以找到“平穩路徑”，這就是光線傳播的路徑。光線在介質1與介質2的傳播速度分別為v₁=c/n₁，v₂=c/n₂。其中，c為真空光速。由於介質會減緩光線的速度，折射率n₁、n₂都大於1。從點Q到點P的傳播時間為 。根據費馬原理，光線...
單位衝激函式等於單位階躍函式對時間變數的導數：；反之，單位階躍函式等於單位衝激函式的積分：。與階躍回響的關係 階躍回響g(t)定義為：系統在單位階躍信號u(t)的激勵下產生的零狀態回響。即激勵所發出的信號為階躍函式，產生了零狀態回響（電路的儲能元器件（電容、電感類元件）無初始儲能，僅由外部激勵作用而產生...
在數學中，泰勒公式（英語：Taylor'sFormula）是一個用函式在某點的信息描述其附近取值的公式。這個公式來自於微積分的泰勒定理（Taylor's theorem），泰勒定理描述了一個可微函式，如果函式足夠光滑的話，在已知函式在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做係數構建一個多項式來近似函式在這一點...
微分學的基本概念是導數。導數是從速度問題和切線問題抽象出來的數學概念。牛頓從蘋果下落時越落越快的現象受到啟發，希望用數學工具來刻畫這一事實。若用 表示物體的運動規律，即物體運動中所走路程 與時間 的關係，那么物體在 時的瞬時速度為 ，並記 ，並稱之為路程 關於時間 的導數或變化率，也可記 。而物體...
為基底（類似於極坐標系，這組基底的方向也會改變，對時間t的導數也有類似的規則）的坐標系即為自然坐標系。如右圖所示。在自然坐標系中，質點的速度可表示為 求導可得加速度 稱為切向加速度，稱為法向加速度，則質點加速度可分解為切向和法向兩個方向的分量。注意：加速度在極坐標系和自然坐標系的分解中，涉及...
牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程（積分法）。萊布尼茨 德國的萊布尼茨（又譯“萊布尼茲”）是一個博才多學的學者，1684年，他發表了現在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極...
GPS作為一種空間大地測量技術，本身並不具備測定世界時（UT）的功能，但由於一方面GPS衛星軌道參數和UT相關，另一方面，也和測定地球自轉速率有關，而自轉速率又是UT的時間導數，因此IGS仍能給出每天的日長（LOD）值。IGS還能進一步求定章動項和高解析度的極移（達每2小時1次），後者主要源於IGS各觀測站觀測質量的...
例如，物理定律不隨著時間而改變，這表示它們有關於時間的某種對稱性。如果我們想像一下，譬如重力的強度每天都有所改變，我們就會違反能量守恆定律，因為我們可以在重力弱的那天把重物舉起，然後在重力強的時候放下來，這樣就得到了比我們開始輸入的能量更多的能量。諾特定理對於所有基於作用量原理的物理定律是成立。它得...
拉格朗日中值定理的幾何意義也有較為廣泛的套用。此外，拉格朗日中值定理的變形公式指出了函式與導數的一種關係，因此，可以利用這種關係研究函式的性質。在化學、物理等其他專業領域，也可以利用拉格朗日中值定理來進行計算和研究，例如在化學中計算相對於時間的反應級數，在物理中研究航空重力異常向下延拓方法等。在經濟學...
