施萊夫利符號

施萊夫利符號

數學中,施萊夫利符號(Schläfli symbol)是一個可以表示一特定正多胞體若干重要特性的符號。其命名是為了紀念19世紀數學家路德維希·施萊夫利在幾何和其他領域的許多重要貢獻。

基本介紹

  • 中文名:施萊夫利符號
  • 外文名:Schläfli symbol
  • 性質:若干重要特性的符號
  • 意義:紀念數學家路德維希施萊夫利
符號簡介,正多邊形,星形多邊形,星芒形,正多面體,正多胞體,五維及更高維的正多胞形,各種正多胞形的施萊夫利符號,零維,一維,二維,三維,四維,五維,更高,

符號簡介

正多邊形

一個有n個邊的多邊形,其施萊夫利符號為{n}。例如,施萊夫利符號為{5}的多邊形即為五邊形。

星形多邊形

星形多邊形(Star polygon)指的是正非凸多邊形,即邊長相等的凹多邊形或複雜多邊形。星形多邊形的施萊夫利符號若為{p/q},表示此一星形多邊形有p的角,每一個角都和次q的角相連。因此{5/2}即代表的是五芒星。

星芒形

當p和q不互質時,此時的星形多邊形即稱為星芒形(star figure)。若p跟q的最大公因子為n,此一星芒形即是由n個{p/n/q/n}相互旋繞而成。例如,{6/2},即六芒星(也稱作2{3}),便是由兩個三角形{3/1}所組成的,而{10/4}則是由兩個五芒星所組成。
星芒形一般不會用在更高維的星形多面體與星形多胞體上,它實際上是一種複合多邊形/複合星形多邊形,而非“星形多邊形”。它的三維類比是Stellation,即複合多面體/複合星形多面體——而這個Stellation是不會用施萊夫利符號表示的

正多面體

“正多面體的施萊夫利符號計做{p,q},其中p代表每個面的頂點數,而q代表每個頂點和幾個面相連”
——摘自中文wiki(居然只是很不厚道地摘取最簡單的,四維以後的卻沒有寫進去)
在正多面體{p,q}中,p可以說是表示每個面是正p邊形,q可以說是表示每個頂點的情況,也表示頂點圖是正q邊形。
如正十二面體的施萊夫利符號是{5,3},表示立方體的表面由正【5】邊形構成,圍繞任意一個點轉一圈會划過【3】個正5邊形(每個頂點和【3】個面相連)正多面體

正多胞體

在四維空間中,一個正多胞體用符號{p,q,r}表示。
其中{p,q}表示組成這個正多胞體三維表面(Facet),當然{p,q}是正多面體;{q,r}表示每個頂點的情況,即頂點圖(Vertex Figure)**;{r}是Edge Figure,表示每條棱的情況,與三維一樣類比過來,簡單地說r表示的是每條棱與多少個三維胞相連
如超立方體的施萊夫利符號是{4,3,3},表示它的表面由立方體{4,3}構成,它的頂點圖是正四面體{3,3},每條棱與【3】({3,3}的第二個“3”)個立方體相連

五維及更高維的正多胞形

在更高維的空間裡,可以通過四維空間的施萊夫利符號的表示意義進行類比
一個n維空間的正多胞形(Regular n-polytope)用施萊夫利符號{p1,p2,...,pn-2,pn−1}表示,其中{p1,p2,...,pn−2}表示構成它的n-1維正多胞形;而{p2,p3,...,pn−1}則表示它的頂點圖
事實上五維以及更高的維度中,每個維只有三個正多胞形,分別是
n-單形(n-simplex):{3,3,...,3},縮寫{3^n-1}(符號中有n-1個3,下同),自身對偶
n-正方體(n-cube):{4,3,3,...,3},縮寫{4,3^n-2},n-cross對偶
n-正軸體(n-cross)(其實這個沒有中文翻譯,名字來自日語):{3,3,...,3,4},縮寫{3^n-2,4}

各種正多胞形的施萊夫利符號

零維

點: .

一維

線段:{}

二維

正多邊形與星形正多邊形(∞)
如果p>2且p是整數,則有{p}為正多邊形
如果p>2q≥2且p與q互質,則有{p/q}為星形正多邊形
歐式一維正鑲嵌(一種)
正無窮邊形:{∞}

三維

正多面體(五種)
正四面體:{3,3}
立方體:{4,3}
正八面體:{3,4}
正十二面體:{5,3}
正二十面體:{3,5}
星形正多面體(四種)
小星形十二面體:{5/2,5}
大十二面體:{5,5/2}
大星形十二面體:{5/2,3}
大二十面體:{3,5/2}
歐式(平面)正鑲嵌(三種)
正六邊形平面鑲嵌:{6,3}
正方形平面鑲嵌:{4,4}
正三角形平面鑲嵌:{3,6}
雙曲正鑲嵌與星形雙曲正鑲嵌(∞)
當2p+2q<pq,且p,q為正整數時,則有{p,q}為雙曲正鑲嵌
當m>6且m為奇數時,則有{m,m/2}和{m/2,m}為星形雙曲正鑲嵌

四維

正多胞體(六種)
正五胞體:{3,3,3}
超正方體:{4,3,3}
正十六胞體:{3,3,4}
正二十四胞體:{3,4,3}
正一百二十胞體:{5,3,3}
正六百胞體:{3,3,5}
星形正多胞體(十種)
(星形正多胞體的幾何用語非常難翻譯,個人把Grand譯為“重”)
Icosahedral 120-cell(二十面體形一百二十胞體):{3,5,5/2}
Small stellated 120-cell(小星形一百二十胞體):{5/2,5,3}
Great 120-cell(大一百二十胞體):{5,5/2,5}
Grand 120-cell(重一百二十胞體):{5,3,5/2}
Great stellated 120-cell(大星形一百二十胞體):{5/2,3,5}
Grand stellated 120-cell(重星形一百二十胞體):{5/2,5,5/2}
Great grand 120-cell(重大一百二十胞體):{5,5/2,3}
Great icosahedral 120-cell(二十面體形大一百二十胞體):{3,5/2,5}
Grand 600-cell(大六百胞體):{3,3,5/2}
Great grand stellated 120-cell(重大星形一百二十胞體):{5/2,3,3}
歐式三維正堆砌(一種)
立方體正堆砌:{4,3,4}
雙曲三維正堆砌(四種)
考慮到這種雙曲堆砌的組成和頂點圖只能是正多面體(不能是正鑲嵌),故只有有限種
(order-n是翻譯作n-階嗎?)
3階正二十面體正堆砌:{3,5,3}
5階立方體正堆砌:{4,3,5}
4階正十二面體正堆砌:{5,3,4}
5階正十二面體正堆砌:{5,3,5}

五維

五維正多胞形(三種)
五維正單形(Hexateron):{3,3,3,3}
五維正方形(Penteract,Decateron):{4,3,3,3}
五維正軸形(Pentacross,Triacontakaiditeron):{3,3,3,4}
歐式四維正堆砌(三種)
超正方體正堆砌:{4,3,3,4}
正十六胞體正堆砌:{3,3,4,3}
正二十四胞體正堆砌:{3,4,3,3}
雙曲四維正堆砌(五種)
考慮到這種雙曲堆砌的組成和頂點圖只能是正多面體(不能是正鑲嵌),故只有有限種
(order-n是翻譯作n-階嗎?)
3階正一百二十胞體正堆砌:{5,3,3,3}
5階正五胞體正堆砌:{3,3,3,5}
4階正一百二十胞體正堆砌:{5,3,3,4}
5階超正方體正堆砌:{4,3,3,5}
5階正一百二十胞體正堆砌:{5,3,3,5}
星形雙曲四維正堆砌(四種)
3階小星形一百二十胞體正堆砌:{5/2,5,3,3}
5/2階正六百胞體正堆砌:{3,3,5,5/2}
5階二十面體形一百二十胞體正堆砌:{3,5,5/2,5}
3階大一百二十胞體正堆砌:{5,5/2,5,3}

更高

更高維的正多胞形(均三種)
n-單形(n-simplex):{3,3,...,3},縮寫{3^n-1}(符號中有n-1個3,下同),自身對偶
n-正方體(n-cube):{4,3,3,...,3},縮寫{4,3^n-2},與n-cross對偶
n-正軸體(n-cross):{3,3,...,3,4},縮寫{3^n-2,4},與n-cube對偶
更高維的歐式正堆砌(均一種)
n維正方體正堆砌:{4,3,…,3,4},縮寫{4,3^n-2,4},自身對偶

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