施泰納系

施泰納系(Steiner system)是一類組合構形，即λ=1的t設計，記為S(t，k，v)。一個S(2，3，v)稱為施泰納三元系，記為STS(v)，一個S(3，4，v)稱為施泰納四元系，記為SQS(v)，STS(v)存在的充分必要條件是v≡1，3(mod 6)，哈拿匿(H.Hanani)於1960年證明：SQS(v)存在的充分必要條件是v≡2，4(mod 6)，當t=4或5時，目前僅知一些零星的施泰納系，其中一些與馬修群有關(參見“馬修設計”)，當t≥6時，目前尚不清楚是否有這樣的施泰納系存在。

基本介紹

• 中文名：施泰納系
• 外文名：Steiner system
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：組合學（組合設計理論）
• 簡介：λ=1的t設計，記為S(t，k，v)

基本介紹

設(X，B)為一正則設計，其中|X|=v，區組大小為k，若X的任一t元子集恰含於B的λ個區組之中，則稱(X，B)為t-(v，k，λ)設計，簡稱t設計。

(i)λ=1，t-(v，k，1)設計常叫做Steiner系，並記作S(t，k，v)。

(ii)S_λ(2，3，v)叫三元系，特別，S(2,3,v)叫Steiner三元系，記作STS(v)。

(iii)S_λ(3，4，v)叫四元系(quadruple system)，特別，S(3，4，v)叫做Steiner四元系，記作SQS(v)。

例1 令

B：{0，1，2，4}，{1，2，3，5}，{2，3，4，6}，{3，4，5，0}，

{4，5，6，1}，{5，6，0，2}，{6，0，1，3}，

{0，1，5，∞}，{1，2，6，∞}，{2，3，0，∞}，{3，4，1，∞}，

{4，5，2，∞}，{5，6，3，∞}，{6，0，4，∞}.

這是一個8階Steiner四元系SQS(8)，如果取包含∞的7個區組並將∞去掉。則得到Z₇上的一個STS(7)。

稍作仔細觀察，不難看出，(V，B)也是一個1-(8，4，7)設計，且這種情況並非偶然。

相關概念

施泰納三元系

施泰納三元系（斯坦納三元系）是滿足中的（平衡不完全區組設計），斯坦納三元系（施泰納三元系）記為。柯克曼15名女學生問題是斯坦納三元系中一個的問題。瑞士數學家斯坦納( Steiner)在1853年研究四次曲線的二重切線時遇到的區組設計，其在數字通訊理論、快速變換、有限幾何等領域有非常重要的作用。

我國學者陸家羲（1935-1983）經過多年研究，編寫了《不相交的斯坦納三元系大集》等七篇論文，解決了國際上斯坦納三元系理論多年未解決的難題。

定理1滿足的的必要條件為

和

由定理1知，滿足的BIBD的有

和

當時，有

和

得和，有

由於b是整數，那么，可取，但時，，不是整數。所以，或或。

馬修設計

馬修設計是與馬修群有關的幾個施泰納系，若G是v元集X上的一個t可遷置換群，Δ是X的一個k元子集，G將X的全體k元子集劃分成一些區組軌道，則含Δ的區組軌道形成一個t-(v，k，λ)設計，若以G_Δ記Δ的集穩定子群，則軌道大小為|G|/|G_Δ|，由此可計算參數λ，已知兩個5可遷的馬修群M₁₂及M₂₄，兩個4可遷的馬修群M₁₁及M₂₃，與之有關的還有一個3可遷的馬修群M₂₂，適當選取區組軌道，可以從這些t可遷群得到一些施泰納系S(5，8，24)，S(5，6，12)，S(4，7，23)，S(4，5，11)，以及S(3，6，22)，稱這幾個設計為馬修設計，這些設計在同構意義下還是惟一的。