斯通逼近定理

簡介

斯通逼近定理是外爾斯特拉斯定理的一個重要推廣。

記C(X)為緊的豪斯多夫拓撲空間X上的連續函式的全體。若以自然的方式對C(X)中的元素f和g定義乘法

，則C(X)成為一個代數。所謂代數就是一個線性空間，其中定義了元素之間的乘法，此乘法滿足如下的公設：

這裡f,g,h是此線性空間中的元素，而α是數。在C[a,b]中，代數多項式的全體構成C[a,b]的一個子代數。

作為外爾斯特拉斯定理的推廣，1937年，斯通(Stone,M.H.)建立了這樣的逼近定理：C(X)的任何子代數A在C(X)中稠密，只要它具有兩個性質：

1、1∈A；

2、A分離X中的點，即對X中任意兩個相異的點x和y，都有f∈A使得f(x)≠f(y)。

外爾斯特拉斯定理即波爾查諾-魏爾施特拉斯定理，是數學拓撲學與實分析中用以刻畫Rⁿ中的緊集的基本定理，得名於數學家伯納德·波爾查諾與卡爾·魏爾施特拉斯。

波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理說明，有限維實向量空間Rⁿ中的一個子集E是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）若且唯若E是有界閉集。