斯坦納—雷米歐斯定理

發展簡史

這一命題的逆命題：“等腰三角形兩底角的平分線長度相等”，早在二千多年前的《幾何原本》中就已作為定理，證明過程想必大家都會。但上述命題在《幾何原本》中隻字未提。

直到1840年，雷米歐斯（C.L.Lehmus）在他給斯圖姆（C.Sturm）的信中提出請求給出一個純幾何證明。斯圖姆沒有解決，就向許多數學家提出這一問題。首先給出證明的是瑞士幾何學家斯坦納（J.Steiner,1796~1863），因而這一定理就稱為斯坦納—雷米歐斯定理。

繼斯坦納之後，這一定理的豐富多彩的證明陸續發表，但大多是間接證法，直接證法難度頗大。一百多年來，吸引了許多數學家和數學愛好者。

如圖，設∠ABD=∠DBC=β，∠ACE=就ECB=γ，

則在△EBC與△DBC中：sin(2β+γ)/ sin2β= BC/CE = BC/BD = sin(β+2γ)/ sin2γ（正弦定理）

∴sin(2β)sin(β+2γ) - sin(2γ)sin(2β+γ) =0

∴2sinβcosβsin(β+2γ) - 2sinγcosγsin(2β+γ) =0（二倍角公式）

∴sinβ[sin(2β+2γ)+sin(2γ)] - sinγ[sin(2β+2γ)+ sin(2β)]=0（積化和差）

∴sinβ[sin(2β+2γ)+2sinγcosγ] - sinγ[sin(2β+2γ) + 2sinβcosβ]=0（二倍角公式）

∴sin(2β+2γ)(sinβ-sinγ) + 2sinβsinγ(cosγ- cosβ)=0（重新分組並提取公因式）

∴sin(2β+2γ){cos[(β+γ)/2]sin[(β-γ)/2])} + 2sinβsinγ{sin[(β+γ)/2]sin[(β-γ)/2]}=0

→sin[(β-γ)/2]{sin(2β+2γ)cos[(β+γ)/2] + 2sinβsinγsin[(β+γ)/2]}=0（和差化積）

又顯然上式的後一個因式的值大於零

∴sin[(β-γ)/2]=0

∴β=γ

∴AB=AC. 證畢！

已知：如圖所示，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC於點D，∠ACB的平分線交AB於點E，BD=CE。

求證：AB=AC

證明：

設∠ABD=∠CBD=α，∠ACE=∠BCE=β

如圖所示，分別以BD，CE為底邊，(α+β)為底角，作等腰△EBD和等腰△GEC，使點F和點A在BD的同側，點G和點A在CE的同側，連線AF，AG，CF，BG，則∠FBD=∠FDB=∠GEC=∠GCE=α+β，FB=FD=GE=GC，∠BFD=∠EGC=180°-2α-2β=∠BAC

∴A，D，B，F四點共圓，A，E，C，G四點共圓（四點共圓的判定）

∴∠BFA=∠BDC=180°-α-2β，∠FAC=180°-∠FBD=180°-α-β，∠CAG=∠GEC=α+β（四點共圓的性質）