斯坦納—萊默斯定理

表述

這一命題的逆命題“等腰三角形兩底角的平分線長相等”早在二千多年前歐幾里得的《幾何原本》中就已作為定理，證明是很容易的。但上述原命題在《幾何原本》中卻是隻字未提，一直直到1840年，萊默斯（C.L.Lehmus）在他給斯圖姆（C.Sturm）的信中提出請求給出一個純幾何證明。但斯圖姆未能解決，就向許多數學家提出這一問題。首先給出證明的是瑞士幾何學家斯坦納（J.Steiner,1796—1863），因而這一定理就稱為斯坦納-萊默斯定理。

證明方法

如圖，已知△ABC中，兩內角的平分線BD=CE。求證：AB=AC。

證法①：（斯坦納原證) 如圖1，假設AB>AC．
則∠BEC>∠BDC (1)
在△BCE與△CBD中，∵BD=CE，
BC公共，∠BCE>∠CBD，
∴BE>CD．
作平行四邊形BDCF，連線EF．
∵BE>CD=BF．∴∠1<∠2．
∵CE=BD=CF ．∴∠3=∠4．
∴∠BEC<∠BFC=∠BDC (2)
(1)與(2)矛盾．∴AB≯AC．
同理AC≯AB．故 AB=AC．

證法②：(海塞證法，德國數學家（L.O.Hesse,1811-1874）)

作∠BDF=∠BCE;並使DF=BC

∵BD=EC，

∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF.設∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β，

∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);

∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180°-2β-α=180°-(α+β);

∴∠FBC=∠CDF，

∵2α+2β<180°,

∴α+β<90°，

∴∠FBC=∠CDF>90°

∴過C點作FB的垂線和過F點作CD的垂線必都在FB和CD的延長線上.

設垂足分別為G、H;∠HDF=∠CBG;∵BC=DF,∴Rt△CGB≌Rt△FHD，∴CG=FH,BC=FD

連線CF，∵CF=FC,FH=CG，∴Rt△CGF≌△FHC（HL），∴FG=CH, 又∵BG=DH,∴BF=CD, 又∵BF=BE,∴CD=BE，∵BE=CD,BC=CB,EC=DB,∴△BEC≌△CDB，∴∠ABC=∠ACB

∴AB=AC.

證法③

設二角的一半分別為α、β

sin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,

∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0

→sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0

→sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0

→sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0

斯坦納—萊默斯定理

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表述

證明方法

後世發展

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