抽象邊界

簡介

抽象邊界由不屬於指定的拓撲空間Ω的點組成的集合，是Ω在延拓後的拓撲空間內的邊界。

具體地，在非空集合Ω上賦予拓撲𝒥，設I是非空指標集，若對每個i∈l，對應著一個由開集組成的濾基𝓑_i，則在Ω∪I上存在滿足下述條件的拓撲𝒥₁：

1.𝒥₁在Ω的誘導拓撲為𝒥；

2.對任意i∈l，Ω與i的鄰域的交全體構成由𝓑_i生成的濾子。

於是關於𝒥₁，I是Ω的邊界，稱之為Ω的抽象邊界。

這樣的拓撲𝒥₁中有最細者，它使得Ω為開集，在I上的誘導拓撲是離散的且𝓑_i中的集與i之並全體構成i的鄰域基。把使Ω成為開集的諸拓撲{𝒥₁}中最粗者記為𝒥_m，若(Ω,𝒥)為豪斯多夫空間，則(Ω∪I,𝒥_m)也是豪斯多夫空間的充分必要條件為：

1.∀i∈l，∀x∈Ω，x在(Ω,𝒥)中有一個鄰域U與𝓑_i的某個成員V不相交；

2.∀i,j∈l(i≠j)，存在U∈𝓑_i，V∈𝓑_j，使得U與V不相交。

拓撲空間是一種數學結構，可以在上頭形式化地定義出如收斂、連通、連續等概念。

拓撲空間在現代數學的各個分支都有套用，是一個居於中心地位的、統一性的概念。拓撲空間有獨立研究的價值，研究拓撲空間的數學分支稱為拓撲學。