基本介紹
簡介,例子,練習,
簡介
抽屜問題，又叫狄利克雷原則。
例子
例1：在一個大口袋中裝著紅、黃、綠三種玻璃球各有很多個。如果每次隨意拿3個球，拿11次，至少有兩次玻璃球顏色狀況完全相同，請說明理由。
分析：所謂兩次玻璃球顏色狀況完全相同，是指如果有一次拿的是1黃2綠，另一次也拿的是1黃2綠，它們的顏色狀況就是完全相同。怎么說明呢？這就需要造抽屜，用抽屜原則來說明。隨意拿出3個球，會有不同的狀況，我們把它找全，每一種顏色狀況就是一個抽屜，有多少種不同的顏色狀況，就有多少個抽屜。
解：每次拿3個球，有10種不同的顏色狀況，把這10種不同的顏色狀況看成10個抽屜，拿的11次看成11個物體，根據抽屜原則一，把11個物體放入10個抽屜中，一定有兩個或兩個以上的物體。也就是說拿11次，一定至少有兩次玻璃球的顏色狀況完全相同。
例2：求證1997年1月出生的任意32個孩子中，至少有兩個人是同一天出生的。
分析：1997年1月份共31天，為了回答上述問題，我們不妨假設1月份這31天為31個抽屜，而將1月份出生的任意32個孩子看作32個元素。根據抽屜原理一知，有一隻抽屜里至少放入了兩個元素。
解：答：1月份出生的任意32個孩子中，至少有兩個人是同一天出生的。
練習
1、求證：任意互異的8個整數中，一定存在6個整數x1、x2、x3、x4、x5、x6使得（x1－x2）·（x3－x4）·（x5－x6）恰是105的倍數。
解：根據抽屜原理一，在所給的任意8個整數中，必有兩個整數被7除的餘數相同，不妨設這兩個數為x1、x2，則有7|（x1－x2），或表示為：x1－x2=7k1（其中k1為不等於零的整數）。在餘下的6個數中，必有兩個數被5除的餘數相同，不妨設這兩個數為x3、x4，使得x3、x4滿足：x3－x4=5k2（k2為非零整數）。在餘下的4個數中，必有兩個整數被3除所得餘數相同，不妨設這兩個數為x5、x6，使得x5－x6=3k3（k3為非零整數）。
（x1－x2）·（x3－x4）·（x5－x6）
=7k1·5k2·3k3
=105×整數
即：從任意給定的互異的8個整數中，一定可以找到6個數x1、x2、x3、x4、x5、x6使得（x1－x2）·（x3－x4）·（x5－x6）是105的倍數。
2、一個袋裡有四種不同顏色的小球，每次摸出兩個，要保證有10次所摸的結果是一樣的，至少要摸多少次？
分析：當摸出的兩個球的顏色相同時，可以有四種不同的結果。當摸出的兩個球的顏色不同時，最多可以有3+2+1種不同的結果。將上述10種不同的結果作為10個抽屜。
解：要求10次摸出的結果相同，依抽屜原理二，至少要摸9×10+1=91（次）。
3、 一個圓上有40條直徑，在每條直徑兩端各填上一個數，所填數字可以從1到20中任意選。一定存在兩條直徑，兩端點數字之和相等。
分析：我們做抽屜的方向一定是當每條直徑的兩端從1到20中任選數字填在上面時，會有多少種不同的和。把這些不同的和分別作為抽屜。再去與直徑的條數做比較，就可以得出結論。
解：直徑兩端和最小的是2，最大的是400。因此，共有39種不同的和，把39種不同的和看成39個抽屜，直徑的條數是40，大於39，所以一定存在著兩條直徑，兩端數字之和相等。
4、能否在8行8列的方格表的每一個空格中分別填上1、2、3這三個數字中的任意一個，使得每一行、每一列及對角線AC、BD上的各個數字的和各不相同？對你的結論加以說明。
分析與解答：8行8列及兩條對角線，共有18條“線”，每條“線”上都填有8個數字，要使各條“線”上的數字和均不相同，那么各條“線”上的數字和的取值情況應不少於18種。下面我們來分析一下各條“線”上取不同和的情況有多少種。如果某一條“線”上的8個數字都填上最小的數1，則可得到數字和的最小值8；如果某一條“線”上的8個空格中都填上最大的數3，那么可得到數字和的最大值24。由於數字及數字和均為整數，所以從8到24共有17種不同的值。我們將數字和的17種不同的值看作17個抽屜，而將18條“線”看作18個元素。根據抽屜原理一，將18個元素放入17個抽屜中，一定有一隻抽屜中放入了至少兩個元素。即18條“線”上的數字和至少有兩個相同，所以不可能使18條“線”上的各數字和互不相同。
5、由6個隊參加的單循環比賽（每兩個隊都要比賽一場），無論比賽進行到什麼時候，一定存在兩個隊，這兩個隊比賽過的場次數相同。
分析：無論比賽進行到什麼時候，所有比賽過的比賽過的場次從0場到5場都有可能出現。因此，就會有5個不同的抽屜。
解：參賽的隊有6個，有5個抽屜，根據抽屜原則一，無論比賽進行到什麼時候，一定有兩個隊比賽過的場次相同。
