截長補短法

截長補短法，是國中數學幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想。截長就是在一條線上截取成兩段，補短就是在一條邊上延長，使其等於一條所求邊。

基本介紹

• 中文名：截長補短法
• 別稱：幾何輔助線做法之一
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：幾何
• 定義：幾何題中一種輔助線的添加方法

定義

截長：1.過某一點作長邊的垂線 2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。

補短：1.延長短邊 2.通過旋轉等方式使兩短邊拼合到一起。

用法例題

例1：正方形ABCD中，點E在CD上，點F在BC上，∠EAF=45°。求證：EF=DE+BF。

證明：延長CD到點G，使得DG=BF，連線AG。

∵ABCD是正方形

∴∠ADG=∠ABF=90°，AD=AB

又∵DG=BF

∴ADG≌ABF（SAS）

∴∠GAD=∠FAB，AG=AF

∵ABCD是正方形

∴∠DAB=90°

例1-圖

=∠DAF+∠FAB

=∠DAF+∠GAD

=∠GAF

∴∠GAE=∠GAF-∠EAF

=90°-45°

=45°

∵∠GAE=∠FAE=45°，AG=AF，AE=AE

∴△EAG≌△EAF（SAS）

∴EF=GE

=GD+DE

=BF+DE

例2：如圖，已知AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中點，求∠AEB的度數。

解：向AE方向延長AE，交BC的延長線於F。

∵∠5和∠6是對頂角

∴∠5=∠6

∵E是CD的中點

∴DE=EC

∵AD∥BC

∴∠1=∠F

例2-圖

∴△AED≌△CEF（AAS)

∴AD=CF，AE=EF

∴AB=AD+BC

=CF+BC

=BF

∴△ABF是等腰三角形且AF為底邊

又∵AE=EF且點E線上段AF上

∴BE⊥AF

∴∠AEB=90°

例3：如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC。求證：AB+BD=AC。

證明：在AC上截取AE=AB，連線DE

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

又∵AD=AD，AB=AE

∴△ABD≌△AED（SAS）

∴BD=DE，∠B=∠3

又∵∠B=2∠C

例3-圖

∴∠3=2∠C

又∵∠3=∠4+∠C

∴2∠C=∠4+∠C

即∠C=∠4

∴DE=CE

∴BD=CE

∵AE+EC=AC

∴AB+BD=AC

例4：如圖，AC平分∠DAB，∠ADC+∠B=180°。求證：CD=CB。

證明：在AB上找一點E，使AE=AD，連線CE

∵AC平分∠DAB

∴∠DAC=∠BAC

又∵AE=AD，AC=AC

∴△ACD≌△ACE(SAS)

例4-圖

∴∠ADC=∠AEC，CD=CE

∵∠ADC=∠AEC

∴∠AEC+∠B=∠ADC+∠B=180°

∵∠CEB+∠AEC=180°

∴∠B=∠CEB

∴CE=CB

∴CD=CB