應力空間

應力空間（Stress space）是一種物理空間，它是以σ1，σ2，σ3作為坐標軸而形成的三維空間，空間中的每一個點表達了一種應力狀態，因而屈服面就可用應力空間中的曲面圖形來表達。通常將三維空間轉到兩個特殊平面中進行分析：

等斜面：又稱π平面，該平面通過原點，其法線的三個方向的餘弦都是1/sqrt(3)，即與三個坐標軸交角相等。

子午線平面：通過原點與π平面垂直的面稱為子午線平面，常用p~q平面表示。

基本介紹

• 中文名：應力空間
• 外文名：Stress space
• 性質：物理空間
• 特點：空間中的一點表達一種應力狀態
• 特殊平面：π平面、子午線平面
• 學科：彈性與塑性力學

概念

主應力空間和π平面

一點應力狀態的表示可採用六個獨立的應力分量．也可以用三個主應力的大小及其相應的三個主方向，還可以用應力張量的三個不變數及應力主方向。如同在三維空間內x，y，z的三個坐標值可確定空間一個點的位置一樣，確定一點應力狀態的六個獨立應力分量也可在虛構的六維應力空間中表示。所謂六維應力空間，就是以六個應力分量為六個坐標軸的假想空間，該應力空間中的任一點都表示一個應力狀態。考慮到材料是初始各向同性的，從建立屈服條件的目標出發，只要知道三個主應力的大小即可。於是，如將三個主應力σ₁，σ₂，σ₃取為三個相互垂直的直角坐標軸而構成一個空間直角坐標系(見圖1)，則該空間中的一點P就對應於物體中某點的應力狀態(σ₁，σ₂，σ₃)，或者用矢量 表示該點的應力狀態，稱為應力狀態矢。這個空間就稱為主應力空間，它是由Haigh-Westergaard提出的。在載荷改變的過程中，物體內各點的應力狀態在不斷地變化，在應力空間中相應的應力點也在不斷地改變其位置．則這些應力狀態矢的矢端描出的軌跡就稱為相應點的應力路徑(歷史)，即應力空問中的一曲線表示了一點應力狀態的變化過程。

圖1

性質

應力空間中線與面的性質

設以i，j，k表示主應力空間中三個坐標軸的單位向量。今在應力空間中做一直線L，它過原點O，且與三個坐標軸的夾角相等，稱之為等傾線L(也有稱等斜線)。由於L上任一點在三個坐標軸上的坐標是相等的，所以L直線的方程是

也就是說，L線上各點代表均勻應力狀態，其應力偏量為零。再在應力空間中觀察過原點且與L垂直的平面．其方程式為

由於在這個平面上所有各點的平均應力為零，只有應力偏量，因此，將其稱為偏量平面π。位於π平面上的點時與應力偏量相對應的。

現對矢量 做如下分解

式中：為應力偏量；為靜水應力。因在三個坐標軸上的投影相等，故必與等傾線L重合。又由

知必在π平面內。

注意，過π平面上任意一點且與π平面相垂直做一直線L'，該線上各點的應力偏量是相同的。因靜水應力對材料的塑性特性沒有影響，故考察塑性變形與應力狀態之間的關係時，可以著眼於π平面，只考慮在該平面的投影（如）即可，因為應力空間中任一點所代表的應力狀態的偏量部分必落在π平面上。

相關性研究

三種六面體約束應力空間的相關性研究

弱平衡、正交性和能量協調條件是構造高性能雜交元的三種手段，三個條件同時滿足是一種理想的應力設計方案，四邊形單元CH(0-1)的應力是這種理想方案的一個代表。該研究在剖析出三線性等參變換中眾多參數的幾何意義之後，研究了六面體情況下約束線性應力關於Wilson位移滿足三種不同條件的應力設計方案，結論是對於一般格線，能量協調與正交性條件約束下的應力空間不一定相同，弱平衡條件不一定自然滿足；只有當格線滿足一定的條件時，這兩種應力空間才相同；當採用折半剖分方案時，這兩種約束下的應力模式相差高階無窮小。數值試驗結果也肯定了以上結論。