微分連鎖律是一門高等數學的定律。連鎖律的基本公式為：dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx)
基本介紹
- 中文名：微分連鎖律
- 別稱：連鎖律
- 表達式：dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx)
- 套用學科：高等數學
- 作用：複雜式求導
概述,連鎖律的推導,連鎖律的套用,y^n的導數,1/y或1/y^n的導數,√y的導數,所有連鎖律公式,
概述
當需要微分(x+1)2時，我們可以將其展開成為x2+2x+1後對其求導，得到2x+2。然而，當我們遇到類似(3x+1)5這樣的式子時，將其展開將浪費許多時間和精力，這時我們可以使用連鎖律來解決這個問題。
連鎖律的基本公式為：dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx)
連鎖律的推導
假設y=f(x)且z=f(y)：
∵δy/δx=(δy/δz)×(δz/δx)
∴limδx→0 δy/δx=(limδz→0 δy/δz)×(limδx→0 δz/δx)
又∵當δx→0時,δz→0
∴limδx→0 δy/δx=(limδx→0 δy/δz)×(limδx→0 δz/δx)
得出公式：dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx)
以y=(3x+1)5為例，使用連鎖律求導：
假設z=3x+1，y=z5。
d/dx[(3x+1)5]=dy/dx
=(dy/dz)×(dz/dx)
=[d/dz(z5)]×[d/dx(3x+1)]
=(5z4)(3)
=15z4
=15(3x+1)4
這樣我們就可以輕鬆得出(3x+1)5的導數。
連鎖律的套用
y^n的導數
連鎖律一般被用來求yn的導數（y=f(x)且n為常數），我們可以用連鎖律獲得更簡單的公式。
以(ax+b)n為例，假設y=ax+b：
d/dx(yn)
=d/dy(yn)×dy/dx （連鎖律）
=[ny(n-1)](a)
=any(n-1)
=an(ax+b)(n-1)
可以得出：
d/dx(yn)=[ny(n-1)](dy/dx)
d/dx[(ax+b)n]=an(ax+b)(n-1)
1/y或1/y^n的導數
有時，n的值會是-1，我們也可以使用連鎖律。
d/dx(1/y)
=d/dx[y(-1)]
=[-y(-2)]×(dy/dx) （連鎖律）
=(-1/y2)(dy/dx)
有的時候n的值是其他負數：
d/dx(1/yn)
=d/dx[y(-n)]
=[-ny(-n-1)]×(dy/dx) （連鎖律）
=[-n/y(n+1)](dy/dx)
最後得出：
d/dx(1/y)=(-1/y2)(dy/dx)
d/dx(1/yn)=[-n/y(n+1)](dy/dx)
√y的導數
在日常生活中，n除經常取整數外，還經常取1/2，即y=√z。
同樣以y=√z（z是自變數為x的函式）為例，使用剛得到的公式進行求導：
dy/dx
=(dy/dz)×(dz/dx) （連鎖律）
=[0.5z(-0.5)](dz/dx)
得出另一個公式：d/dx(√y)=(dy/dx)/(2√y)
以上幾個公式可以在大多數情況下代替連鎖律使用，它們比連鎖律更容易使用。
所有連鎖律公式
dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx)
d/dx(yn)=[ny(n-1)](dy/dx)
d/dx[(ax+b)n]=an(ax+b)(n-1)
d/dx(1/y)=(-1/y2)(dy/dx)
d/dx(1/yn)=[-n/y(n+1)](dy/dx)
d/dx(√y)=(dy/dx)/(2√y)
