基本介紹
概念,問題的提出,問題已有的解決,廣義連續統假設,
概念
問題的提出
康托爾猜想這個問題的解答是否定的,即連續統勢是比自然數集的勢大的勢中最小的一個無窮勢,記作C1;自然數集的勢記作C0。這個猜想就稱為連續統假設。
問題已有的解決
1938年,K.哥德爾證明了CH對ZFC公理系統(見公理集合論)是協調的,1963年,P.J.科恩證明CH對ZFC公理系統是獨立的,是不可能判定真假的。這樣,在ZFC公理系統中,CH是不可能判定真假的。這是60年代集合論的最大進展之一。然而到了21世紀,前人的結論又開始被動搖了。
康托爾證明連續統的基數等於自然數集冪集的基數,並把它記作2^ℵ0(其中ℵ0讀作阿列夫零)。康托爾還把無窮基數按照從小到大的次序排列為ℵ0,ℵ1,…ℵa……其中a為任意序數,康托爾猜想,2^ℵ0=ℵ1。這就是著名的連續統假設(簡記CH)。一般來說,對任意序數a,斷定2^ℵa=ℵ(a+1)成立,就稱為廣義連續統假設(簡記GCH)。在ZF中,CH和選擇公理(簡記AC)是互相獨立的,但是由GCH可以推出AC。ZF加上可構造性公理(簡記V=L)就可以推出GCH,當然也能推出CH和AC。
廣義連續統假設
廣義連續統假設(Generalized continuum hypothesis,簡稱GCH)是指: 若一個無限集A的基數在另一個無限集S與其冪集之間,則A的基數必定與或其冪集相同。
CH與GCH都獨立於ZFC,不過Sierpiński證明了ZF+GCH可以推導出選擇公理,換句話說,不存在ZF+GCH但AC不成立的公設系統。
任何的無限集合A和B,假如存在一個由A到B的單射,那就存在一個由A的子集到B的子集的單射。因此對於任何有限的序數A和B,
假如A和B是有限集合,那我們可以得到更強的不等式:
GCH意味著這個嚴格的不等式對無限序數和有限序數都成立。