序數理論是數學的一個分支，是使用二元關係（如，大於、優於）來研究順序的直觀概念。它提供了一個用於描述諸如“這小於”或“這在其之前”的語句的正式框架。 本文介紹了該研究領域，並提供了基本定義。序數理論術語的列表可以在順序理論辭彙表中找到。
基本介紹
- 中文名：序數理論
- 外文名：Order theory
在數學和相關領域、如計算機科學中，順序的概念無處不在。經常討論的第一順序是國小就學過的，對自然數的標準順序，如“2大於3”，“10大於5”，或者，“我的餅乾比你的多嗎？”。這個直觀的概念可以擴展到其他數字集合上的順序，如整數和實數。大於或小於另一個數字的想法是數字系統（與記數系統相比）的基本直覺之一（儘管通常對兩個數字的實際差異感興趣，這不是由順序給出的）。其他熟悉的排序例子是字典中字母順序和一個家族的輩分。
序數的概念是非常籠統的，超越了具有直接、直觀的序列或相對數量感覺的內容。在其他情況下，序數可能會捕獲遏制或專業化的概念。抽象地，這種類型的順序等於子集關係，例如“兒科醫生是醫生”，並且“圓圈僅僅是特殊情況的橢圓”。
一些順序，比如對字的自然數和字母順序的“小於”，有一個特殊的屬性：每個元素可以與任何其他元素比較，即它比較小（更早），更大相同。考慮例如集合集合上的子集順序：儘管鳥集合和狗集合都是動物集合的子集，但鳥類和狗都不構成另一個的子集。那些類似於存在不可比較元素的“子集”關係的序數被稱為偏序;每對元素可比的序數是完全序數。
序數理論捕捉了在一般條件下，從這些示例產生的序數的直覺。這是通過指定關係，如“≤”，必須是數學序數的屬性來實現的。這種更抽象的方法是有意義的，因為人們可以在一般設定中導出許多定理，而不關注任何特定順序的細節。 這些見解隨後可以很容易地轉移到許多較不抽象的套用中。
在序數的廣泛實際使用的驅動下，已經定義了許多特殊類型的序數集合，其中一些已經成為它們自己的數學領域。此外，序數理論不限於各種類型的排序關係，而是考慮它們之間的適當函式。函式的序數理論屬性的一個簡單例子，來自於經常發現單調函式的分析。
