序數方冪

序數方冪是序數的一種運算。序數算術實質上不同於基數算術。

基本介紹

• 中文名：序數方冪
• 外文名：exponentiation of ordinals
• 適用範圍：數理科學

簡介

序數方冪是序數的一種運算。

對任意序數𝞪，𝞫，𝞬，令：

1、𝞪⁰=1；

2、𝞪^𝞫+1=a^𝞫·𝞪；

3、𝞪^𝞬=sup{𝞪^𝞫|𝞫<𝞬}，當𝞬是極限序數時成立。

舉例

例如：

1.𝞫¹=𝞫，𝞫²=𝞫·𝞫，𝞫³=𝞫·𝞫·𝞫等；

2.𝞫^w=sup{𝞫ⁿ|n<w}。

特別地，1^w=1, 2^w=w, 3^w=w,...n^w=w(對任何n∈w)，w^w=sup{wⁿ|n<w}>w。

應該指出的是，序數算術實質上不同於基數算術。例如，2^w=w，並且w^w都是可數序數，而是不可數的。

性質

序數的方冪有下列性質：對任意序數𝞪，𝞫，𝞬有：

1、𝞪^𝞫+𝞬=𝞪^𝞫·𝞪^𝞬；

2、(𝞪^𝞫)^𝞬=𝞪^𝞫·𝞬，但(𝞪𝞫)^𝞬=𝞪^𝞬·𝞫^𝞬一般不成立。