平面把

平面把(bundle of planes)亦稱平面叢，是一種空間圖形，空間一定點的所有平面組成的集合稱為平面把。這個定點稱為平面把的中心，另一種平面把是平行於同一條直線(或說此直線的方向)的全體平面的集合，在把方向看做它所指的無窮遠點後，不妨認為這種平面把是通過同一個無窮點的全體平面的集合。

基本介紹

• 中文名：平面把
• 外文名：bundle of planes
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：立體幾何
• 別稱：平面叢

平面把的定義與方程

通過一點的所有平面的集合稱為平面把，這一點稱為平面把的中心。

具有一共同性質的所有平面的集合，稱為平面族。通過一定點的所有平面的集合稱為平面把，定點稱為平面把的中心；通過一定直線的所有平面的集合稱為平面束，定直線稱為平面束的軸，平面把與平面束又統稱為平面族。

容易證明， 以一點 為中心的平面把方程為

其中A、B、C是不全為零的任意數。

設方程

表示三個相交於一點的平面，則方程組(2)有唯一解，所以

關於平面把的定理

如果平面把的中心是(2)所表示的三個平面的交點，則有下面的定理。

定理 以三個相交於一點的平面(2)的交點 為中心的平面把的方程是

其中λ、μ、v為不同時為零的任意數。

證明： 1)方程(4)可改寫為

(5)中x、y、z的係數不全為零， 否則得

這和假設矛盾，故(5)表示一個平面。

2) 這個平面顯然通過三平面的交點 。

3) 設π是通過三平面(2)的交點 的任意一個平面，它的方程為

因為 是三平面(2)的交點，故(2)可改寫為

即

若平面π可用(8)表示，則

因為

故由(9)可唯一確定 ，並且 不全為零，否則A=B=C=0，以解得的 的值代入(8)，得到的方程就表示平面π。

從以上討論可知，(4)是 以 為中心的平面把方程。

有一些求平面方程的問題，利用平面束或平面把的方程來解，比較方便。