平衡分布

平衡分布是指熱力學系統達到平衡後，組成系統的N個粒子在粒子許可能級上的分布。

基本介紹

• 中文名：平衡分布
• 外文名：equilibrium distribution
• 領域：統計學
• 研究對象：微觀粒子
• 條件：熱力學平衡

定義

熱力學系統達到平衡後，組成系統的N個粒子在粒子許可能級上的分布稱之為平衡分布。波爾茲曼Boltzmann認為，當N足夠大時，系統平衡時的最概然分布就能代表系統平衡時的一切分布。實際上這包括兩方面的含義：一是系統最概然分布出現的機率幾乎等於1；二是可用最概然分布的微觀狀態數代替系統的總微觀狀態數作統計計算。

舉例論證

假設某系統含個獨立可別粒子，這些粒子分布在同一能級的兩個簡併量子態A，B上，其中在A上分布的粒子數為M，在B上分布的粒子數為(N一M)。由於每個量子態上能容納的粒子數不限，所以M可以是從0到N之間的任一數值。此時系統共有(N+1)種分布類型，按照式，每種分布類型的微觀狀態數

系統的總微觀狀態數

根據二項式公式 ，令，則可以求出

如果視A，B為具有相同能量的兩個能級，即。利用獨立可別粒子系統處於最概然分布時在能級i上的粒子分布數式可以求出最概然分布為，所以最概然分布的微觀狀態數

由和得到最概然分布出現的機率

藉助Stirling近似公式：

可以求出當時，

由此可知，在粒子數的系統中，最概然分布出現的機率極小，且隨著N的增大而更小。這說明最概然分布的微觀狀態數遠遠小於系統的總微觀狀態數。

考慮與最概然分布有微小偏離的某種分布，如A能級的分布數，而B能級的分布數。令，則分布數與最概然分布數的相對偏差為。這么小的偏離使這種分布與最概然分布是如此靠近，以致於在巨觀上無法區別。這一分布類型出現的機率為

套用Stirling近似公式，並考慮，上式演化為

若選定m從變至，則在此間隔範圍內各種分布出現的機率之和為

再利用誤差函式，可求出P=0.99993。

這說明最概然分布和那些在巨觀上與最概然分布無法區別的鄰近分布出現的總機率已接近1。熱力學系統微觀狀態雖然瞬息萬變，但系統卻在最概然分布所代表得了的那些分布中度過了幾乎全部時問。可以認為，到達平衡的熱力學系統，從巨觀上看狀態不隨時間而變化；從微觀上看粒子的能級分布保持最概然分布狀態，並且不因時間的推移而產生顯著的變化。因此作為U、N、V恆定系統的最概然分布實際上就是系統的平衡分布。