平均曲率

平均曲率（mean curvature） 是微分幾何中一個“外在的”彎曲測量標準，局部地描述了一個曲面嵌入周圍空間（比如二維曲面嵌入三維歐幾里得空間）的曲率。

平均曲率是空間上曲面上某一點任意兩個相互垂直的正交曲率的平均值。如果一組相互垂直的正交曲率可表示為K1,K2,那么平均曲率則為：K = (K1 +K2 ) / 2。

基本介紹

• 中文名：平均曲率
• 外文名：Mean curvature
• 介紹：微分幾何中一個彎曲測量標準
• 出處：《彈性理論》
• 學科：數理科學
• 提出者：索菲．熱爾曼

概述

這個概念由索菲·熱爾曼在她的著作《彈性理論》中最先引入。

曲面的兩個主曲率之積K=k₁k₂叫曲面的高斯曲率，兩個主曲率的平均值

叫做曲面的平均曲率。

定義

令p是曲面S上一點考慮S上過p的所有曲線Ci。每條這樣的Ci在p點有一個伴隨的曲率Ki在這些曲率Ki中，至少有一個極大值κ1 與極小值κ2這兩個曲率κ1,κ2稱為S的主曲率。

的平均曲率是兩個主曲率的平均值(斯皮瓦克 1999, 第3卷，第2章)，由歐拉公式其實也是所有曲率的平均值[3]，故有此名。

利用第一基本形式與第二基本形式的係數，平均曲率表示為：

這裡 E,F,G 是第一基本形式的係數，L,M,N 為第二基本形式的係數。

平均曲率可推廣為更一般情形 (斯皮瓦克 1999, 第4卷，第7章)，一個超曲面 T 的平均曲率為：

更抽象地說，平均曲率是第二基本形式（或等價地，形運算元）的跡 。

另外，平均曲率 H 可以用共變導數 寫成

這裡利用了高斯-Weingarten 關係，X(x,t) 是一族光滑嵌入超曲面， 為單位法向量，而gij 是度量張量。

一個曲面是極小曲面若且唯若平均曲率為零。此外，平面 S 平均曲率滿足一個熱型方程稱為平均曲率流方程。

三維空間中曲面

對 3 維空間中的曲面，平均曲率與曲面的單位法向量相關：

這裡法向量的選取影響曲率的正負號。曲率的符號取決於法向量的方向：如果曲面“遠離”法向量則曲率是正的。上面的公式對 3 維空間中任何方式定義的曲面都成立，只要能夠計算單位法向量的散度。

對曲面是兩個坐標的函式定義的曲面，比如 z = S(x,y)，使用向下的法向量平均曲率（的兩倍）表示為

流體力學

在流體力學中使用的另外一種定義是不要因子 2：

H_f=(k₁+k₂)

這出現於楊-拉普拉斯方程中，平衡球狀小滴內部的壓力等於表面張力乘以 Hf；兩個曲率等於小滴半徑的倒數 κ1 = κ2 = r ^-1。

極小曲面

一個極小曲面是所有點的平均曲率為零的曲面。經典例子有懸鏈面、螺旋面、Scherk 曲面與 Enneper 曲面。新近發現的包括 Costa 極小曲面（Costa's mimimal surface，1982年）與Gyroid（Gyroid，1970年）。 極小曲面的一個推廣是考慮平均曲率為非零常數的曲面，球面和圓柱面就是這樣的例子。Heinz Hopf 的一個問題為是否存在曲率為非零常數的非球面閉曲面。球面是惟一具有常平均曲率且沒有邊界或奇點的曲面；如果允許自交，則存在平均曲率為非零常數的閉曲面，Wente 在1986年曾構造出這樣的自交環面(陳維桓 2006, 4.6節)。

參見

高斯曲率

平均曲率流

逆平均曲率流

面積公式第一變分

注釋

Dubreil-Jacotin on Sophie Germain

Curvature in the Calculus Curriculum

關於角度的平均值。