群是現代數學中最重要的具有概括性的概念之一，有關群的性質及其結構的理論稱為群論。半群是群的推廣。群自然是半群；反之顯然未必。半群也是環的推廣。
帶零半群(semigroup with zero)是指含零元的半群。半群S中的元素0，若關於任意x∈S，有0x=x0=0，則稱0為S的零元。
基本介紹
- 中文名：帶零半群
- 外文名：semigroup with zero
- 領域：代數
- 定義：含零元的半群
- 半群：群、環的推廣
- 理論：群論、環論
概念,群論,半群,環論,
概念
帶零半群(semigroup with zero)是指含零元的半群。半群S中的元素0，若關於任意x∈S，有0x=x0=0，則稱0為S的零元。關於任意半群S，記：
群論
群是現代數學中最重要的具有概括性的概念之一，有關群的性質及其結構的理論稱為群論。
1831年，年僅20歲的青年數學家伽羅華得到n次方根可否通過對係數施行四則和開方運算來求解的判據，一舉解決了五 次以上代數方程求解的千古難題。這個問 題得以解決，取決於他對置換群性質所作 的深入討論，群的概念就在這時產生了。 現在研究代數方程的性質與群的性質之間 的關係已成為一門大理論伽羅華理論所研 究的對象，伽羅華理論在群論的發展中起 作決定性的作用。40年後克萊因的變換群 導致幾何觀的一次革命; 索福斯·李研究 微分方程，開創李群論，更深刻影響著數 學物理的發展。在數學物理的對稱現象的 研究中，對稱的概念看來是明顯的，但對 對稱概念的精確和一般的描述，特別是對 稱性質量上的計算，卻要用群論這個工具 才行。19世紀到20世紀，在幾何、晶體等 物理、化學中，都弄清了對稱規律的重要 意義，因此群論的方法和結果得以廣泛使 用。1890年，費道洛夫用群論闡明晶體結構的幾何形態，特別是20世紀30年代， 書爾、維格納等人把群論套用於量子力學 取得成功，導致了原子、分子結構的重要 發現。現在群論已經是量子物理和量子化 學常用的工具了，這更使群論走出了純數 學專業的數學王國，活躍於更廣闊的科學 地。今天，群的概念已普遍被認為是數學 及其許多套用中最基本的概念之一，它不 但滲透到像幾何學、代數拓撲學、函式論、 泛函分析及其他許多數學分支中而著重要 的作用，還形成了一些新學科，如拓撲群、 李群、代數群、算術群等。它們還具有與 群結構相聯繫的其他結構，如拓撲、解析流形、代數簇等，並在結晶學、理論物理、 量子化學以至編碼學、自動機理論等方面 都有重要套用。作為推廣 “群” 的概念的 產物，群論及其在計算機科學中的套用， 也有很大的發展。
群的概念中有兩個方面： 一是指出它的元素是哪些事物，二是元素間運算的規則，可分別用它們來研究群。研究群的元素和元素集合的各種性質，以及它們同群 的運算性質之間的聯繫，這常常是研究各 種具體的群，如交換群、置換群、運動群、拓撲群等; 也可研究完全由群的運算性質 表示出來的特性，它屬於抽象群論或一般 群論。下面是一些抽象群論的概念： 同構， 一個群的元素與另一個群的元素對應，運 算結果也是對應的，稱兩個群同構； 一個 群所含元素的個數稱為群的階，群G的階 記為|G| ，|G|有限時為有限群，無限 時為無限群; 同構中兩個群中的元素是一一對應的，若存在多對一的對應則稱為同態。
半群
簡單、最自然的一類代數系統。一個非空集合S連同定義在它上面的一個結合的(即滿足結合律的)二元運算“·”的代數系統(S，·)稱為一個半群。半群(S，·)簡記為S。
半群是群的推廣。群自然是半群；反之顯然未必。半群也是環的推廣。環在只考慮它的乘法運算的時候是一個半群，稱為環的乘半群；但任何一個帶零半群卻未必是某個環的乘半群。半群代數理論的系統研究始於20世紀50年代(雖然，這方面的工作可追溯到1904年蘇士凱維奇(Suschkwitz，A.K.)關於有限半群的論文)。在數學內部和外部的巨大推動下，半群理論已成為代數學的一個公認的分支學科，並早已以其特有的方法獨立於群論和環論之外。在20世紀60年代，蘇聯和美國率先出版了兩本專著，利雅平(Ляпин，E.C.)的《半群》和克利福德(Clifford，A.H.)與普雷斯頓(Preston，G.B.)的兩卷《半群代數理論》，這對半群代數理論的發展，在國際上起了巨大的推動作用。由德國斯普林格出版社出版的《半群論壇》更是有關半群理論的一個重要的國際性專門刊物.許多數學家在世界各地開展半群理論的研究和各層次高級人才的培養(直到博士後).半群代數理論是半群理論中最基本、最活躍、也最富成果的一部分.此外，尚有半群的分析、拓撲和序理論。
設S為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素，如果對於S所定義的一種代數運算“·”滿足
(1)封閉性a·b∈s;
(2)結合律a·(b·c)=(a·b)·c。
則稱S為一個半群。半群的理論在計算機、數學物理、數學語言學等方面有廣泛的套用。
環論
抽象代數學的主要分支之一。它是具有兩個運算的代數系.在非空集合R中定義加法“+”和乘法“·”運算，使得R中任意元a，b，c適合條件：
1.R對加法為交換群，稱為R的加法群，記為(R，+);
2.R對乘法適合結合律，即(R，·)是半群，稱為R的乘法半群;
3.乘法對加法的左、右分配律成立，即
a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律)，
(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律);
則稱R為結合環，簡稱環(通常a·b寫為ab).它是環論研究的主要對象.環論起源於19世紀關於實數域的擴張與分類，以及戴德金(Dedekind，J.W.R.)、哈密頓(Hamilton，W.R.)等人對超複數系的建立和研究。韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)於1907年給出的結構定理給出代數研究的模式，也成為環結構研究的模式.20世紀20-30年代，諾特(Noether，E.)建立了環的理想理論，阿廷(Artin，E.)又將代數結構定理推廣到有極小條件的環.同時，對非極小條件的環，馮·諾伊曼(von Nenmann，H.)建立了正則環理論，相繼蓋爾范德(Гельфанд，И.М.)創立了賦值環，克魯爾(Krull，W.)建立了局部環理論，以及哥爾迪(Goldie，A.W.)完善了極大條件環理論。
20世紀40年代，根論迅速發展，尤其是雅各布森(Jacobson，N.)於1945年引入的被稱為雅各布森根的概念後，建立了本原環理論、半本原環的結構定理與本原環的稠密性定理，完善和深化了不帶附加條件環的理論.20世紀50年代中期，阿密蘇(Amitsur，S.A.)、庫洛什(Kurosh，A.)創立了根的一般理論，環論已趨完善。
另一方面，由群表示研究的影響，產生模、群環與分次環的理論.20世紀20年代初，諾特引入了模的概念，並研究模對有限群表示的作用與環結構之間的關係，用模的語言去刻畫環，特別是20世紀50年代以後，同調代數的迅速發展，使環的理論進入更高層次雖然，早在1854年，凱萊(Cayley，A.)就引入了群代數，然而，它的研究是從20世紀30年代開始直到60—70年代，受群表示論與環的理論的推動才蓬勃發展起來的.20世紀70年代後，由於分次代數的推動，群代數進入新的階段——交叉積的研究.分次環與模發展的另一動力是交換代數幾何中射影代數簇，20世紀70年代以來，由於非交換代數幾何及群表示論的推動，環論已進入一個新的階段.
若環R的乘法適合交換律，則稱R為交換環.乘法半群的左(右)單位元，稱為環R的左(右)單位元.乘法半群的單位元稱為環R的單位元.(R，+)的零元稱為環R的零元.在一個元構成的環中，零元是單位元，但兩個以上的元構成的環中，零元一定不是單位元.環R的一個非空子集合S，若對R的加法、乘法也構成環，則稱S是R的子環.S是R的子環若且唯若對任意a，b∈S恆有a-b∈S，ab∈S.
