希波克拉底定理：以直角三角形兩條直角邊向外做兩個半圓，以斜邊向內做半圓，則三個半圓所圍成的兩個月牙型面積之和等於該直角三角形的面積。
基本介紹
- 中文名：希波克拉底定理
- 別稱：月牙定理
- 提出者：希波克拉底
- 套用學科：數學
以直角三角形兩條直角邊向外做兩個半圓，以斜邊向內做半圓，則三個半圓所圍成的兩個月牙型面積之和等於該直角三角形的面積。
這是古希臘數學家希波克拉底發現的一條平面幾何里套用挺廣的優美定理
希波克拉底的證明。首先，
AB，且與半圓相交於C，並連線AC與BC。平分AC於D，然後，以D為圓心，以AD為半徑作半圓AEC，這樣，就形成了新月形AECF
希波克拉底的證明方法既簡單又高明。首先，他必須證實所論證的新月形與圖中陰影部分的△AOC面積完全相等。這樣，他就可以套用已知的三角形能表示為等價平方的公理來斷定新月形也可用等價平方表示。這一經典論證的詳細過程如下：
定理：新月形AECF可用等價平方表示。
證明；由於∠ACB內接於半圓，所以，∠ACB是直角。根據“邊角邊”
勾股定理，就得到
因為AB是半圓ACB的直徑，AC是半圓AEC的直徑，所以，我們可以套用上述第三條原理，即得到
也就是說，半圓AEC的面積是半圓ACB面積的一半。
我們來看扇形AFCO（“扇形”是圓的四分之一）。顯然，這一扇形也是半圓ACB面積的一半，據此，我們可直接得出
面積（半圓AEC）=面積（扇形AFCO）
最後，我們只需從這兩個圖形中各自減去它們共同的部分AFCD，如圖1.16所示，即
面積（半圓AEC）—面積（AFCD部分）
=面積（扇形AFCO）—面積（AFCD部分）
我們從圖中可以很快看出，剩下的部分就是
面積（新月形AECF）=面積（△ACO）
我們已知，我們可以作一個正方形，使其面積等於三角形ACO，因而也等於新月形AECF的面積。這就是我們所尋求的化新月形為方的問題。 證訖。
這的確是數學上的一大成就。評註家普羅克洛斯（公元410—485年）以他五世紀的眼光，認為希俄斯的希波克拉底“……作出了新月形的等面積正方形，並在幾何學中做出過許多其他發現，是一位作圖的天才，如果曾經有過這種天才的話。”
