巴拿赫定理

在泛函分析中，巴拿赫定理是一個極為重要的工具。它允許了定義在某個向量空間上的有界線性運算元擴張到整個空間，並說明了存在“足夠”的連續線性泛函，定義在每一個賦范向量空間，使對偶空間的研究變得有趣味。

這個定理以漢斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名，他們在1920年獨立證明了這個定理。

基本介紹

• 中文名：巴拿赫定理
• 外文名：Hahn–Banach theorem
• 學科：數學

內容簡介

巴拿赫定理(Banach theorem)表明函式的全變差與指標函式的(L)積分之間關係的定理。設f (x)是巨，司上的連續函式，m與M分別為f(二)在壓，司上的最小值與最大值，N(y) (m鎮y鎮M)是方程.fCx)=y的根的個數，稱N(戶為巴拿赫指標函式，則N(必在[m,M]上(L)可測。

表述

定理的最一般的表述需要一些準備。給定標量域（實數或複數）上的一個向量空間V，一個函式稱為次線性的，如果：

可以很容易證明，V上的每一個範數和每一個半範數都是次線性的。其它的次線性函式也可以是很有用的。

哈恩-巴拿赫定理說明，如果是一個次線性函式，是的子空間U上的一個線性泛函，滿足：

那么存在φ到整個空間的一個線性擴張，也就是說，存在一個線性泛函ψ，使得：

以及：

擴張ψ一般不是由φ唯一指定的，定理的證明也沒有給出任何求出ψ的方法：在無窮維空間

的情形中，它依賴於佐恩引理——選擇公理的一個表述。

我們可以把的次線性條件稍微減弱，只需要：

根據（Reed and Simon, 1980）。這揭示了哈恩-巴拿赫定理與凸性的密切聯繫。