差分運算元

差分運算元是一種運算元，對任一實函式f(x)，若記Δf(x)=f(x+1)-f(x)，則稱Δ為向前差分運算元，簡稱差分運算元。差分是計算數學的基本概念之一，指離散函式在離散節點上的改變數。

基本介紹

• 中文名：差分運算元
• 外文名：difference operator
• 所屬學科：數學
• 表達式：Δf(x)=f(x+1)-f(x)
• 符號：Δ為向前差分運算元，簡稱差分運算元

基本概念

差分運算元在數值積分、數值微分和微分方程的數值解中是很有用的。人們總是希望把非平穩時間序列變換成平穩序列，以便於用數學方法來處理，而最常用的變換是差分變換。

對於序列 ，其一階(向後)差分(first-order (backward) difference)定義為 ，這裡 。

二階差分(second-order difference)定義為

類似地，p階差分為：

s期滯後差分為：

顯然， ；對於常數c，。

相關概念

假定所討論的函式都是無窮次可微分的實函式， ,令h表示函式自變數的最小增量，定義運算元：

位移運算元：

向前差分運算元:

向後差分運算元 :

中心差分運算元：

微分運算元：

平均運算元：

這些運算元都是線性的，因為下列等式對於任意的常數 和函式 皆成立：

任意兩個線性運算元P與Q的和、積、冪由下列等式定義：

，n個因子.

當 對於一切函式 皆成立時，兩個運算元P，Q為相等，即 。

差分運算元的若干性質

（1） (C為常數)；

（2）

（3）

套用舉例

Taylor級數

利用運算元，由通常的形式

得出

(1)

指數函式

等式(1)中方括弧里的式子是運算元hD的指數函式 的冪級數展開式,由恆等式 得到下列關係：

二項式定理

向前差分運算元的二次冪：

即

使人想到二項式定理。由 得 ，對於任意的冪次，有等式 。