平穩序列（stationary series）是基本上不存在趨勢的序列。這類序列中的各觀察值基本上在某個固定的水平上波動，雖然在不同的時間段波動的程度不同，但並不存在某種規律，其波動可以看成是隨機的。
基本介紹
- 中文名：平穩序列
- 外文名：Stationary sequence
- 學科：數學、統計學
定義,性質,模型與基本數據,平穩序列的譜函式,
定義
F(X1,X2,…,Xk)=F(X1+t,X2+t,…，Xk+t);(k≥2)
其中F表示為聯合分布函式;t∈R，且t大於0;X1,X2,…,Xk是{Xn,n≥0}中的任意K個隨機變數.
性質
平穩序列中，往往(X1,⋯,Xn)與Xn+1不獨立。所以利用歷史樣本來預測未來時間就有了可能。
一般來講，獲取平穩序列的辦法是：將時間序列的趨勢項和季節項都去掉，只留下隨機項。
首先看一下自協方差函式。它滿足三條性質（稱為非負定序列）：
- 對稱性
- 非負定性：自協方差矩陣是非負定的。
- 有界性：|γk|≤γ0
樣本的自協方差函式：γk^=1N∑N−kt=1(xt+k−x¯)(xt−x¯)
模型與基本數據
- 平穩序列：如果一個時間序列：二階矩有限，一階矩為常數，自協方差函式對於各個位置相同。這三個角度也是刻畫時間序列的常用角度。
- 平穩序列的平穩性主要體現在均值不變、方差有限，別的限制很弱。自協方差函式的不變性仍然允許周期性的出現。
- 平穩序列的周期性：可以體現在它的自協方差函式。
序列相關性：連續n個點上面的自協方差矩陣退化⇔
存在非0的n維實數向量使得這n個點的線性組合的方差為0，即這n個點的r.v. 線性相關。如果有n個向量線性相關，那么任意n+1個連續隨機變數也是線性相關的。
- 時間序列的線性變換指的是對每個r.v進行線性變換，而不是多個r.v.的加和。平穩序列經過線性變換之後仍然是平穩序列。
自相關函式：平穩序列{Xt}標準化後的序列{Yt}的自協方差函式ρk=γk/γ0， 它也是非負定序列。
白噪聲：白噪聲是最簡單的平穩序列，它比正常假設多了一條：二階矩不相關。即Cov(ϵt,ϵs)=δt−sσ2
- 分類：獨立白噪聲、零均值白噪聲、標準白噪聲、正態白噪聲……
- 白噪聲主要用來描述簡單隨機干擾。
- Poisson白噪聲：Poisson過程減去均值，就是一個Poisson白噪聲。
- 布朗運動和正態白噪聲
- 調和白噪聲（Xt=bcos(at+Ut)
- ）注意，它是沒有周期性的。
正交平穩序列：EXtYs=0,∀s,t∈Z
- 對於零均值的平穩序列，正交性與不相關性等價。
- 正交序列與平穩序列的和的自協方差函式
線性平穩序列
- 定義：由白噪聲的線性組合構成的平穩序列。
- 有限運動平均MA：形式為Xt=a0ϵt+a1ϵt−1+⋯+aqϵt−q
經過簡單計算我們可以得到它的均值（0）和自協方差函式。我們可以很清楚地定義它為
相關的。
推廣到無窮情形，我們需要兩個工具，用來求無窮個r.v.的和的數學期望。如下：
- 單調收斂定理：非負單調遞增r.v.{ξn}, 如果ξn→ξ,a.s.那么Eξ=limnEξn
- 控制收斂定理：幾乎處處有界的r.v.序列，如果有極限，那么期望與極限可以交換。
有上面兩個定理，我們就可以給出線性平穩序列的各種性質了！ 即非負單調遞增r.v.序列如果有極限，那么極限與期望（積分）可以交換。
線性平穩序列：對於絕對可和的實數序列{at},Xt=∑∞−∞ajϵt−j
- 容易得到，它是零均值的（控制收斂定理） ，自協方差函式γk=σ2∑∞−∞ajaj+k（控制收斂定理）。
一般只要求平方可和，這時仍然是平穩的序列。（平方可和弱於絕對可和）
若一個序列是零均值白噪聲的線性組合，係數序列平方可和，那么自協方差函式γk→0
（當然，我們也可以取單面滑動平均。這也是套用時間序列分析中最常用的方法）
平穩序列的譜函式
這個東西是類似於單個隨機變數的分布函式或密度函式存在的。平穩序列的二階統計性質可以由它的 譜分布函式或譜密度函式刻畫。
