對稱點

對稱點

把一個圖形繞著某一點旋轉180度,如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關於這個點中心對稱,這個點叫做對稱中心(the point of symmetry),兩個圖形關於點對稱也稱中心對稱,這兩個圖形中的對稱點,叫做關於中心的對稱點。

基本介紹

  • 中文名:對稱點
  • 外文名:the point of symmetry
  • 相關概念:對稱中心
點關於直線對稱點,關於對稱點的畫法,

點關於直線對稱點

點關於點的對稱問題,是對稱問題中最基礎最重要的一類,其餘幾類對稱問題均可以化歸為點關於點的對稱進行求解. 熟練掌握和靈活運用中點坐標公式是處理這類問題的關鍵.
點關於直線的對稱問題是點關於點的對稱問題的延伸,處理這類問題主要抓住兩個方面:①兩點連線與已知直線斜率乘積等於-1,②兩點的中點在已知直線上.
直線關於點的對稱問題,可轉化為直線上的點關於某點對稱的問題,這裡需要注意到的是兩對稱直線是平行的. 我們往往利用平行直線系求解.
例 求直線2x+11y+16=0關於點P(0,1)對稱的直線方程.
分析 本題可以利用兩直線平行,以及點P到兩直線的距離相等求解,也可以先在已知直線上取一點,再求該點關於點P的對稱點,代入對稱直線方程待定相關常數.
解法一 由中心對稱性質知,所求對稱直線與已知直線平行,故可設對稱直線方程為2x+11y+c=0. 由點到直線距離公式,得 ,
即|11+c|=27,得c=16(即為已知直線,捨去)或c= -38. 故所求對稱直線方程為2x+11y-38=0.
解法二 在直線2x+11y+16=0上取兩點A(-8,0),則點A(-8,0)關於P(0,1)的對稱點的B(8,2).
將B(8,2)代入,解得c=-38.
點評 解法一利用所求的對稱直線肯定與已知直線平行,再由點(對稱中心)到此兩直線距離相等,而求出c,使問題解決,而解法二是轉化為點關於點對稱問題,利用中點坐標公式,求出對稱點坐標,再利用直線系方程,寫出直線方程. 本題兩種解法都體現了直線系方程的優越性.
直線關於直線對稱問題,包含有兩種情形:①兩直線平行,②兩直線相交. 對於①,我們可轉化為點關於直線的對稱問題去求解;對於②,其一般解法為先求交點,再用“到角”,或是轉化為點關於直線對稱問題.
例 求直線l1:x-y-1=0關於直線l2:x-y+1=0對稱的直線l的方程.
分析 由題意,所給的兩直線l1,l2為平行直線,求解這類對稱總是,我們可以轉化為點關於直線的對稱問題,再利用平行直線系去求解,或者利用距離相等尋求解答.
解 根據分析,可設直線l的方程為x-y+c=0,在直線l1:x-y-1=0上取點M(1,0),則易求得M關於直線l2:x-y+1=0的對稱點N(-1,2),
將N的坐標代入方程x-y+c=0,解得c=3,
故所求直線l的方程為x-y+3=0.
點評 將對稱問題進行轉化,是我們求解這類問題的一種必不可少的思路. 另外此題也可以先利用平行直線系方程寫出直線l的形式,然後再在直線l2上的任取一點,在根據該點到互相對稱的兩直線的距離相等去待定相關常數.

關於對稱點的畫法

  • 點關於點對稱點畫法
    連線兩點AB並延長至另外一點A‘使得A'B=AB即可
    點關於直線對稱點畫法
    過點作直線的垂線並延長至A',使它們到直線的距離相等即可
    直線關於點對稱直線畫法
    同樣過點作直線垂線,然後再點的另外一旁截取相等距離的點,過這點作直線的平行直線即可
    直線關於直線對稱直線畫法
    在直線上取2點關於直線對稱,用點關於直線對稱的畫法,然後連線兩點即可

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