中點公式

中點公式是定比分點公式的特例，利用中點公式，已知平面內兩個點的坐標就可以求出它的中點坐標，此外還可解決一類關於某點對稱的問題。

基本介紹

• 中文名：中點公式
• 外文名：mid-point formula
• 所屬學科：數學
• 相關概念：定比分點公式
• 相關問題：中心對稱問題，軸對稱問題等

基本介紹

設 是平面直角坐標系內的任意兩點，點 是線段 的中點。過點 分別向 軸作垂線，垂足分別為 ，如圖1所示。

圖1

因為點 為線段 的中點，根據平行線的性質，點 分別是線段 和 的中點，即

所以 ，即

這就是線段中點坐標的計算公式，簡稱中點公式。同樣也可以將中點公式推廣到三維的情況。

套用舉例

求連線下列兩點的線段的中點坐標。

解: (1)設線段的中點坐標為，則根據中點坐標公式可得

所以線段的中點坐標為。

(2) 設線段的中點坐標為，則根據中點坐標公式可得

所以線段的中點坐標為。

相關知識

點在平面直角坐標系中的表示： ；

兩點 之間的距離： 。

中心對稱：關於點的對稱問題

點關於點的對稱

如果點 關於點M對稱，則M是線段 的中點。

解析：依據中點坐標公式：

【 】→(關於點 的對稱點)→【 】

【 】→(關於坐標原點的對稱點)→ 【 】

曲線關於點的對稱

【】→(關於點的對稱曲線)→【】

【】→(關於坐標原點的對稱曲線)→ 【】

解析：設是曲線上的任意一點，關於的對稱點為，因為在曲線上，所以，，即的坐標是方程的解。

軸對稱問題：關於直線的對稱問題

點P關於直線的對稱點

過點P做的垂線，垂足為N，延長PN到P’，使，則是線段的中點，，N在直線上。

設關於直線的對稱點為，則有

其中第一個方程式是因為在直線上)，第二個方程式是因為。

解得：

曲線關於直線的對稱

曲線關於直線的對稱曲線的方程解題步驟：

①設是曲線上任意一點，求點關於直線的對稱點的坐標。

②因為在曲線上，則的坐標方程是的解，將的坐標代入曲線的方程，化簡即得的方程。