對稱面

對稱面有多個義項。一個是指群論在化學中的套用，一個是指結晶學名詞，還有一個是幾何學的對稱面。

基本介紹

• 中文名：對稱面
• 外文名：plane of symmetry
• 所屬學科：數學、化學

群論在化學中的套用

基本介紹

一個對稱面必須通過一個物體，即平面不能完全在物體之外。給定平面是對稱面所必須滿足的條件可表述如下。讓我們按下列方式把笛卡爾坐標系套用於分子，令平面包含兩個坐標軸(例如x和y)，垂直於第三個軸(即z)。分子中每個原子在這個坐標系中的位置可逐一指明。現在假設對於所有原子，固定x和y坐標而改變z坐標的符號：這樣一來，原來在 點的第i個原子移動到 點。另一種表示上一操作的方法是說“從每個原子向平面作垂線，把這條線向平面的反面延長相等的距離，並把原子移到線的另一端”。若對分子中所有原子都完成了這種操作後，得到了一個等價構型，所用的平面就是對稱面。

顯然，位於平面中的原子構成特殊情況，因為通過平面的反映操作完全不使它們移動。由此可見，任意平面型分子至少必須有一個對稱面，即它的分子平面。定義的另一重要而直接的結論，是對於具有對稱面的分子中各種原子數目的限制。不位於平面上的給定種類的全部原子必須按偶數出現，因為每個原子在平面的兩側必須是成對的。當然，給定種類的任意數目的原子可以在平面上。其次，若在分子中給定種類的原子只有一個，它必須在分子可能具有的每一個對稱面上。這意味著，它必須在兩個或兩個以上的平面的交線上，或在三個或三個以上平面的交點上(假若存在那樣一個點)，因為這個原子必須同時位於所有的對稱面上。

對稱面的標準符號是 ；同樣的符號也用於通過平面的反映操作。

應該明確地指出，一個對稱面的存在引起、要求或如通常所說的生成一個對稱操作。兩次套用同一種反映的效果是把所有的原子放回它們的原始位置。因此當操作 產生與原始情況等價的構型時，兩次套用同樣的 導致恆等於原始情況的構型。現在我們可以方便地用 的寫法來表示連續套用n次操作 。因此我們還可以寫 ，此處我們用符號E表示一些操作的任意組合，這個組合使分子取恆等於原始情況的構型。我們把E或與E相等的一些操作的組合稱為恆等操作。顯然，當n是偶數時 ，當n是奇數時 。

舉例說明

現在考慮幾個說明分子對稱面的例子。一種極端情況是完全沒有對稱面的分子。這種分子的一種普通類型是非平面的分子，分子中每種原子的數目都是奇數。FClSO就是一個例子，見下圖。

圖1

另外一種極端情況是具有無限個對稱面的分子，即線型分子。對於這些分子，任一包含分子軸的平面都是對稱面，而且顯然有無數個這種平面。大多數的小分子介於這兩種極端情況之間；即它們有一個或幾個對稱面。若我們取F₂SO或Cl₂SO來代替FClSO，我們就得到具有一個對稱面的分子，這個面通過S和O並垂直於Cl、Cl、O或F、F、O平面。H₂O分子有兩個對稱面。一個顯然與分子平面共面，另一個包含氧原子(這是必然的，因為只有一個這樣的原子)並垂直於分子平面。通過第二個平面反映的效果是使氧原子固定而交換兩個氫原子，但是通過第一個平面的反映使所有原子不動。屬於AB₂C₂類型的四面體分子(例如CH₂Cl₂)也具有兩個相互垂直的對稱面。一個包含AB₂，通過這個平面的反映使這三個原子不動，同時交換C原子；另一個包含AC₂，而通過它的反映只交換B原子。

NH₃和CHCl₃分子是含有三個對稱面的典型。對於NH₃，任一對稱面都必須包含氮原子和一個氫原子或所有三個氫原子。因為NH₃不是平面型的，所以不可能有包含N和所有三個H的對稱面；因此我們指望包含N和一個H，並平分其餘兩個H之間聯線的平面。顯然有三個這樣的平面。對於CHCl₃，除了氫原子必須也位於對稱面中，情況完全相似。

NH₃分子只是普通三角錐型分子AB₃的一個例子。讓我們看一下，當把A原子向三個B原子的平面方向壓，開始使這一分子壓扁時，會發生什麼。容易看出，即使在壓成共平面的極限情況下，也不會影響三個對稱面。除了在共平面的極限情況以外，它並不能引入任何新的對稱面。一旦AB₃變成平面型，就有了第四個對稱面，它是分子平面。具有四個對稱面，其中三個垂直於分子平面的AB₃型分子或離子，是為數眾多且重要的。例如有硼的鹵化物、 、 和SO₃。

屬於[PtCl₄]^2-或[AuCl₄]^-一類型的平面型分子有五個對稱面。一個是分子平面。還有兩個垂直於分子平面且相互垂直，它們通過三個原子。最後還有兩個也是垂直於分子平面且相互垂直，它們等分Cl—Pt—Cl或Cl—Au—Cl角。

圖2

正四面體分子具有六個對稱面。利用圖2所示的編號系統，我們可以把它們所包含的原子編上號來逐一指明。這些對稱面包含下列原子：

AB₁B₂，AB₁B₃，AB₁B₄，AB₂B₃，AB₂B₄，AB₃B₄

圖3

正八面體總共包含九個對稱面。在逐一確定它們時，可參看上圖附有原子編號的圖。首先有三個平面屬於同一類型，即包含下列各組原子的那些平面：AB₁B₂B₃B₄、AB₂B₄B₅B₆和AB₁B₃B₅B₆。其次還有六個平面屬於第二種類型，其中之一包含AB₅B₆並且平分B₁一B₂和B₃一B₄聯線，第二個包含AB₁B₃並且平分B₂一B₅和B₄一B₆聯線，等等。

幾何學名詞

把空間圖形F關於某一平面 進行對稱移動，這時，如果F與其自身相重合，則F稱為關於 是對稱的， 稱為圖形F的對稱面。

對稱(symmetry)有軸對稱、點對稱和面對稱等情況。通常所說的對稱，一般指軸對稱。對稱一詞還用於其它情形，例如對稱多項式，對稱矩陣，對稱空間、對稱群、對稱張量、對稱分布等。

結晶學名詞

結晶學名詞。對稱要素之一。是一個能將圖形分為兩個互成鏡像反映的相等部分的假想平面，一般用字母P表示。垂直於對稱面的任意直線的兩端等距離處，必可找到相對應的點。

對稱面是一個假想的平面，它把晶體分為互成鏡像反映的兩個相等部分。

與對稱面相應的對稱操作是對此平面的反映。對稱面的存在有兩個必要條件：一是該平面能把晶體分為相等的兩部分；二是這兩部分間互成鏡像關係。如圖4中，P₁和P₂都把晶體分為相等的兩部分，其中P₁是對稱面，而P₂則不是，因為它所分隔的兩部分不呈鏡像關係。

圖4

對稱面在晶體中可以沒有，也可以有一個或數個，最多可達9個，描述時把對稱面的數目寫在符號前面，如立方體中有9個對稱面，則記為9P。晶體中如果有對稱面存在，它必定通過晶體的幾何中心。此外，對稱面可以垂直平分晶面或晶棱、平分晶面夾角，也可以包含晶棱。