實反對稱矩陣

定義

設A為n階實矩陣，如果A^T=-A，則稱A為實反對稱矩陣。

說明：A^T表示轉置矩陣，有時候也記為A'或者A^-1。

若矩陣A滿足條件A=-A^T，則稱A為反對稱矩陣。由定義知反對稱矩陣一定是方陣，而且位於主對角線兩側對稱位置上的元素必符號相反，即

，其中i、j為任意不大於矩陣維數的實數。

實反對稱矩陣有如下性質：

性質1：奇數階反對稱矩陣的行列式值為0。

性質2：當A為n階實反對稱矩陣時，對於

有X^TAX =0。

性質3：實反對稱矩陣的特徵值是零或純虛數。

性質4：若A為實反對稱矩陣，A的特徵值λ= bi(b≠0)所對應特徵向量α+βi中實部與虛部對應的向量α、β相互正交。

性質5：若A為n階實反對稱矩陣，則存在n階正交矩陣Γ，使得

式中，±ib_k(k=1，2，…，n)是A的全部非零特徵值。k=1，2，…，r，A的秩r(A)=2r，矩陣(1)稱為實反對稱矩陣A在正交相似下的標準形。

【例1】設A為n階反對稱方陣，A*為其伴隨矩陣，證明：當n為奇數時，A*為對稱方陣；當n為偶數時，A*為反對稱方陣。

證明由於A*中每個元素均為A中的n-1階子式，故對任意數k有

又因A'=-A，故可得

當n為奇數時，

，即A*為對稱方陣。當n為偶數時，

，即A*為反對稱方陣。

【例2】證明：實反對稱矩陣的特徵根是零或純虛數。

證明設A為實反對稱矩陣，λ是它的任意一個特徵根，而

是屬於特徵根λ的一個特徵向量，即

一方面，有

另方面，又有

故

但是

故

即λ為零或純虛數。

【例3】證明：1)若A，B為同階實對稱矩陣，則AB-BA的特徵根只能是0或純虛數；

2)若A為實反對稱矩陣，則|A+E|≠0。

證明 1)因為A，B都是實對稱矩陣，故：

(AB-BA)'=(AB)'-(BA)'=B'A'-A'B'=BA-AB=-(AB-BA)，