密切平面

對於空間曲線而言，過曲線上一點有無數多個切平面，其中有一個最貼近曲線的切平面，被稱為密切平面，它在討論曲線的性質時有很重要的作用。

基本介紹

• 中文名：密切平面
• 外文名：osculating plane
• 性質：最貼近曲線的切平面

定義

密切平面（osculating plane）：

密切平面

過空間曲線上P點的切線和曲線上與P點的鄰近一點Q可作一平面σ，當Q點沿著曲線趨近於P時，平面σ的極限位置π稱為曲線在P點的密切平面。

等價定義：

過空間曲線上點P和曲線上它充分靠近的點 ， 作一平面。當 ， 獨立的趨近於零時，平面的極限位置稱為曲線的P點處的密切平面。

計算公式

1、曲線用一般參數表示

圖1 密切平面

給出 類的曲線（C）

如圖1所示，密切平面的方程為：

其中 表示P點的密切平面上任意一點的向徑。

用行列式表示為

2、曲線用自然參數表示

給出 類的曲線（C）

則曲線（C）在 點的密切平面的方程是

用行列式表示為

3、曲線用基本向量表示

為曲線在一點的單位切向量，和主法向量。

計算實例

例：求螺線 x=cost，y=sint，z=t 上點（1，0，0）的密切平面

解：在（1，0，0）點，t=0.並將t=0帶入各階導數求得

= （cost，sint，t）， = （1，0，0）；

= （-sint，cost，1）， = （0，1，1）；

= （-cost，-sint，0）， = （-1，0，0）；

所求密切平面的方程為

即

性質及意義

1、密切平面對弧長s的變化率為 ，即擾率的絕對值。刻畫了曲線偏離密切平面的程度，即曲線的扭曲程度。

2、若曲線為平面曲線，那么它在每一點的密切平面都是曲線所在的平面。反之，曲線的密切平面固定，則曲線為平面曲線。

3、密切平面、法平面、從切平面所構成的圖形稱為曲線的基本三棱形。