定點數是指計算機中採用的一種數的表示方法。參與運算的數的小數點位置固定不變。
基本介紹
- 中文名：定點數
- 外文名：fixed-point number
- 拼音：dìng diǎn shù
- 定義：計算機中採用的一種數的表示方法
- 例子：1111表示15
無符號數,帶符號數,定點整數,定點小數,原碼錶示,補碼錶示,反碼錶示,移碼,比較,定點數與浮點數,
無符號數
X=X0X1X2...Xn 其中Xi={0,1},0<=i<=n 即X0*2^n + X1*2^(n-1） + X2*2^(n-2） + ... + Xn-1*2 + Xn
數值範圍是 0≤X≤2^(n+1） - 1
例如：1111表示15。
帶符號數
最高位被用來表示符號位，而不再表示數值位。
例如：1111 是 -7
定點整數
小數點位固定在最後一位之後稱為定點整數。若機器字長為n+1位，數值表示為：
X=X0X1X2...Xn，其中Xi={0,1},0≤i≤n 即（-1）^X0 * (X1*2^(n-1） + X2*2^(n-2） + ... + Xn-1*2 + Xn)
數值範圍是 -（2^n-1）≤X≤2^n-1
例如：1111表示-7。
定點小數
小數點固定在最高位之後稱為定點小數。若機器字長為n+1位，數值表示為：
X=X0.X1X2...Xn，其中Xi={0,1},0≤i≤n （這裡X0不表示數字，只表示符號，若X0=0，則代表X=0.X1X2...Xn，X0=1，則代表-0.X1X2...Xn)。
即X=X0.X1X2...Xn代表的小數為 (-1)^X0 * (X1*2^(-1) + X2*2^(-2) + ... + Xn-1*2^(-n+1) + Xn*2^(-n))
數值範圍是 -(1-2^(-n))≤X≤1-2^(-n)
例如：1111表示-0.875
原碼錶示
整數：
[X]原=0，X (0≤ x<2^n)
[X]原=10^n-X (-2^n<X≤0)
小數：
[X]原=X (0≤X<1）
[X]原=1-X (-1<X≤0)
這裡X是數的實際值（真值），[X]原為原碼錶示的機器數。
例如：真值X=+1001，[X]原=01001；真值X=-1001，[X]原=10000-(-1001）=11001；真值X=-0.1001，[X]原=1-(-0.1001）=1.1001。
原碼的性質：
⒈ 符號位+數的絕對值。
⒉ 0有兩個編碼。
⒊ 加減運算規則複雜，乘除運算規則簡單。
⒋ 表示簡單，易於和真值之間進行轉換。
原碼的運算：
加法：
先判斷符號位，若相同，絕對值相加，結果符號位不變；若不同，絕對值大的數減去絕對值小的數，符號位和絕對值大的數相同。
[X]原=00010，[Y]原=01010，X+Y=00000+1010+0010=01100；[X]原=10010，[Y]原=01010，X+Y=00000+1010-10=101010。
減法：
[X]原=10010，[Y]原=01010，X-Y=10010+11010=10000+0010+1010=11100。
乘法（原碼一位乘）：
是模擬豎式手算的方法。引入一個值為部分積（初值為0）。符號位是被乘數和乘數符號位的異或值。之後檢視乘數（符號位以外）從低向高的每一位，若為1，部分積（對齊最高位）加被乘數（符號位以外），並右移一位；若為0，部分積加0，右移一位。
例如：[X]原=11101，[Y]原=01011。X*Y：符號位S=1⊕0=1
則X*Y=110001111。
除法（交替加減法）：符號位為被除數和除數符號位異或獲得。之後被除數減除數（補碼錶示），當餘數為正時，商“1”，餘數左移一位減除數；當餘數為負時，商“0”，餘數左移一位，加除數。
例如：[X]原 = 0.1001，[Y]補= 0.1011，X/Y：
餘數r0<0，商0
除法
除法商0，r和q左移一位
加y
餘數r1>0，商1
商1，r和q左移一位
減y
餘數r2>0，商1
商1，r和q左移一位
減y
餘數r3<0，商0
商0，r和q左移一位
加y
餘數r4>0，商1
X/Y 的商 [Q]原 = 0.1101，餘數[R]原 = 0.0001。
補碼錶示
補碼定義為：
整數：
[X]補=X (0≤X<2^n)
[x]補=2^(n+1）+X (-2^n<X≤0 mod 2^(n+1）（意味相對與2^(n+1）做補））
小數：
[X]補=X (0≤X<1）
[x]補=2+X (-1<X≤0 mod 2（意味相對與2做補））
例如：真值X=+1001，[X]補=01001；真值X=-1001，[X]補=100000+(-1001）=100000-1001=10111；真值X=-0.1001，[X]補=2+(-0.1001）=10-0.1001=1.0111。
補碼的性質：
⒈ 機器數和真值的關係為：[X]補=2*符號位+X
⒉ [X]補和真值的關係：X=[X]補 - 2*X0=X0.X1X2...Xn - 2*X0=-X0 + 0.X1X2...Xn
⒊ 0有唯一的編碼。
⒋ 兩數補碼加法，把符號位和數值位等同處理，結果的符號位與數值位都正確。
⒌ 補碼數的算數移位
把[X]補的符號位和數值位一起右移一位並保持原符號位的值不變，可用來實現除法功能（除以2）。
變形補碼，又稱模4補碼，把普通補碼由模2改為模4，其中雙符號位00代表正，11代表負，01上溢，10下溢。
反碼錶示
整數：
[X]反=X (0≤X<2^n)
[X]反=（2^(n+1）-1）+X (-2^n<X≤0 mod （2^(n+1）-1））
小數：
[X]反=X (0≤X<1）
[X]反=（2-2^(-n))+X (-1<X≤0 mod （2-2^(-n)))
例如：真值X=+1001，[X]反=01001；真值X=-1001，[X]反=10110；真值X=-0.1001，[X]反=1.0110。
反碼的性質：
0有2個編碼。
計算機中，較少使用反碼。
移碼
移碼定位為：
[X]移=2^n+X (-2^(-n）≤X<2^n)
當真值用補碼錶示時，由於符號位和數值部分一起編碼，與習慣上的表示法不同，因此人們很難從補碼的形式上直接判斷其真值的大小。
十進制數X=31，對應的二進制數為+11111，則[X]補=011111；十進制數X=-31，對應的二進制數為-11111，則[X]補=100001，看上去好像100001>011111，其實正好相反。如果我們對每個真值加上一個2^n，X=11111加上2^5可得11111+100000=111111；X=-11111加上2^5可得-11111+100000=000001，這樣就可以直接通過二進制代碼比較大小。
移碼的性質：
⒈ 最高位為符號位。
⒉ 0有唯一編碼。
⒊ 保持了數據原有的大小順序。
比較
數值的表示範圍 ：浮點表示法所能表示的數值範圍將遠遠大於定點表示法。
精度 ：對於字長相同的定點數與浮點數來說，浮點數雖然擴大了數的表示範圍，但這是以降低精度為代價的，也就是數軸上各點的排列更稀疏了。
數的運算 ：浮點運算要比定點運算複雜。
溢出處理 ：定點運算時，當運算結果超出數的表示範圍，就發生溢出；而在浮點運算時，運算結果超出尾數的表示範圍卻並不一定溢出，只有當階碼也超出所能表示的範圍時，才發生溢出。
定點數與浮點數
計算機處理的數值數據多數帶有小數，小數點在計算機中通常有兩種表示方法，一種是約定所有數值數據的小數點隱含在某一個固定位置上，稱為定點表示法，簡稱定點數；另一種是小數點位置可以浮動，稱為浮點表示法，簡稱浮點數。
