子範疇

在數學中，一個範疇C的子範疇（subcategory）是一個範疇S，其物件為C內的物件，態射為C內的態射，且有相同的單位態射與態射複合。直觀上來看，C的子範疇是一個從C中“移去”部分物件和態射的範疇。

基本介紹

• 中文名：子範疇
• 外文名：subcategory
• 學科：數理科學
• 領域：範疇論

定義

令 為一範疇。 的子範疇S給定於

中物件的子類，標記為 ， 中態射的子類，標記為 ，使得：

1) 對每個在 內的 而言，單位態射 會在 內；

2) 對每個在 內的態射 而言，源物件 和目標物件 都會在 內；

3) 對每對在 內的態射 和 而言，複合 會如其定義地在 內。

上述條件確定 本身也會是個範疇。其中存在一自然函子 ，稱之為包含函子，單純為物件和態射的恆等函式。

一個範疇 的完全子範疇是一個 的子範疇 ，會使得每對在 內的物件 和 ，

一個完全子範疇是一個包括著在 的物件間“所有”態射的範疇。對任一堆在 內的物件 ，必存在唯一一個 的全子範疇，其物件為 內的所有物件。

內嵌

給定一個 的子範疇 ，其包含函子 在物件上是忠實且單射的。此函子為完全的若且唯若 為一完全子範疇。

一個函子 被稱之為是一個內嵌若其為：

1）一個忠實函子；

2）在物件上是單射的。等價地說， 是一個內嵌若其在態射上為單射。一個函子 被稱之為完全內嵌，則是若其為一完全函子，且為一內嵌。

對任一（完全）內嵌 而言， 的值域是 的一個（完全）子範疇 ，且 可導出一個由 和 間的範疇同構。

子範疇類型

一個 的子範疇 被稱之為同構封閉的，若每一個在C內的同構（在內）也會屬於。一個同構封閉完全子範疇被稱之為是嚴格完全的。

一個的子範疇是寬的，若其包括所有的物件。一個寬子範疇基本上不會是完全的：一個範疇唯一的完全寬子範疇即是此一範疇本身。

一個塞爾子範疇是指一個阿貝爾範疇的一非空完全子範疇，其中對所有在內的所有短正合序列

會屬於，若且唯若和也屬於。