大學生數學競賽習題精講（第2版）

前言

本書第1版自2010年出版發行以來受到廣大高校師生的關注和熱評，收到了輔導教師和參賽學生的大量反饋信息，對本書提出了寶貴的建議，這些建議大多在新版中得到體現。新版在保持兩部分（要點、例題、習題；習題解答）的格局下，主要的變化體現在兩個方面：一是章節的變化，二是題目的變化。

根據輔導教師的建議，為了與課堂教學結合得更密切些，在新版中將原版共5章的內容改為7章，即將原來的“微分學”一章分為“一元函式微分學”和“多元函式微分學”兩章，“積分學”一章分為“不定積分與定積分”和“多元函式積分學”兩章。另外，安排了“4.1函式與圖形”，此節的主要內容是解析幾何，如“默比烏斯帶的參數方程”等。據此給出了更多微積分方法在幾何學中套用的案例，例如“曲線簇的包絡線”、“咕嚕金定理”等。

在新版中，題目的選擇仍然堅持以數學競賽培訓為主導的思想，因此保留了原版中的很多基本題，也刪除了一些過於煩瑣和枯燥的題目，同時增加了一些題目。新版中題目的數量由原版的700多道題增加到1200多道題。所選習題的難易程度差異較大，以適合不同層次的學生對數學競賽或考研輔導的需求，其中經典的基本題約占二分之一，而難度較大的題都標以“*”號。在每一節中，對習題按照題目的類型或者題目的求解方法等以標題的形式做了詳細的分類，以幫助讀者歸納和查找，也使該書的內容更為系統化。在每節習題後給出非證明題目的答案。新版中還收集了自2009年至2015年全國預賽、決賽（非數學）和北京市競賽的全部試卷，並在各類賽題後給出答案與提示，為讀者提供了寶貴的參考資料。為適合“非數學專業”學生的特點，在習題解答部分，避免使用諸如“εδ”、“一致連續”、“一致收斂”等“專業”化的數學方法，使得解題更具技巧性。新版中為一些題目配上了圖形（全書共140多張圖），以加強直觀的幾何感受，幫助讀者理解。

本書涵蓋的題目類型廣泛，近年數學競賽中的很多題目都可在本書中找到其蹤影。為滿足高層次學生對數學夢的追求，新版中增加了很多有特色的題目。這些題目本身或解題的技巧性都很有吸引力，如“公路占地原理”、“彎管的啟示”、“旋轉液面的形狀”等題目。一些歷史名題也被列入新版之中，如“等周問題”、“圓周率是無理數”等。它們經過作者的改寫，使得“非數學專業”的學生也能夠讀懂，並給出了相應題目的歷史概述。一些純數學問題在本書中做了套用化處理，以強調數學建模的重要意義，如“一刀二餅問題”、“公路隔離欄原理”、“陳家全的百米世界紀錄”等，這樣的題目也可以作為數學建模的教學案例。

有特色的題大都被命名並按節開列在目錄中，如“用施篤茲定理求極限”、“線性微分方程特解的運算元解法”、“將地球變為黑洞”等，以提高讀者對它們的關注度，並且便於讀者查找。

教師在輔導的過程中，應注意多講基本題。具有代表性的基本題大都被編排在例題之中。很多基本題儘管也有一定的難度，但教師講授的重點則應放在解題的基本方法和思路上。例如“微分中值等式”問題，新版中給出了構造輔助函式的一般性方法，教師只需把這個方法講明白，此類習題可由學生自己完成。

特別是積分套用中的各種微元法，其基本思想分別在各個積分章節的“內容要點”和題目的評註中都做了闡述，講授時要做到融會貫通。從歷年的競賽試卷評閱來看，微積分的複雜演算是眾多參賽學生的弱項，許多題目參賽者會做，但由於計算的基本功不過關而做錯。教師應在競賽的培訓中注意對學生演算能力、耐心和技巧的培養。本書中提供了大量的演算技巧和簡算方法，這也是在培訓中需加以強調和同學在學習過程中需要注意之處。因為本書配有詳細的習題解答，很適合學生自學之用。同時，為了避免讀者急於對答案而翻閱解答部分，特將答案列於各節的習題之後。

大學生數學競賽習題精講（第2版）

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