多項式除法

多項式除法

除法的一種類型,俗稱「長除」。適用於整式除法、小數除法、多項式除法(即因式分解)等較重視計算過程和商數的除法,過程中運用了乘法和減法。是代數中的一種算法,用一個同次或低次的多項式去除另一個多項式。是常見算數技巧長除法的一個推廣版本。它可以很容易地手算,因為它將一個相對複雜的除法問題分解成更小的一些問題。

基本介紹

  • 中文名:多項式除法
  • 外文名:Polynomial division
  • 屬性:多項式
  • 性質:算法
  • 多項式:除以多項式一般用豎式進行演算
一般步驟,舉例,整除,套用,

一般步驟

多項式除以多項式一般用豎式進行演算:
(1)把被除式、除式按某個字母作降冪排列,並把所缺的項用零補齊.
(2)用被除式的第一項除以除式第一項,得到商式的第一項.
(3)用商式的第一項去乘除式,把積寫在被除式下面(同類項對齊),消去相等項,把不相等的項結合起來.
(4)把減得的差當作新的被除式,再按照上面的方法繼續演算,直到餘式為零或餘式的次數低於除式的次數時為止,被除式=除式×商式+餘式。若餘式為零,說明這個多項式能被另一個多項式整除
多項式除法示例多項式除法示例

舉例

計算
把被除式、除式按某個字母作降冪排列,並把所缺的項用零補齊,寫成以下這種形式:
多項式除法
然後商和餘數可以這樣計算:
  1. 將分子的第一項除以分母的最高次項(即次數最高的項,此處為x)。結果寫在橫線之上(x3 ÷ x = x2).
  2. 將分母乘以剛得到結果(最終商的第一項),乘積寫在分子前兩項之下(同類項對齊) (x2·(x−1) = x3x2).
  3. 從分子的相應項中減去剛得到的乘積(消去相等項,把不相等的項結合起來),結果寫在下面。(x3−(x3x2) =x2)然後,將分子的下一項“拿下來”。
  4. 把減得的差當作新的被除式,重複前三步(直到餘式為零或餘式的次數低於除式的次數時為止.被除式=除式×商式+餘式 )
  5. 重複第四步。這次沒什麼可以“拿下來”了。
橫線之上的多項式即為商,而剩下的 (這個例子中沒有) 就是餘數。
算數的長除法可以看做以上算法的一個特殊情形,即所有 x 被替換為10的情形。

整除

如果一個多項式除以另一個多項式,餘式為零,就說這個多項式能被另一個多項式整除

套用

多項式的因式分解
有時某個多項式的一或多個根已知,可能是使用有理根定理(Rational root theorem) 得到的。如果一個次多項式 的一個根已知,那么可以使用多項式長除法因式分解為的形式,其中是一個次的多項式。簡單來說,就是長除法的商,而又知是的一個根、餘式必定為零。
多項式除法
相似地,如果不止一個根是已知的,比如已知和這兩個,那么可以先從中除掉線性因子得到,再從中除掉 ,以此類推。或者可以一次性地除掉二次因子。
使用這種方法,有時超過四次的多項式的所有根都可以求得,雖然這並不總是可能的。例如,如果 有理根定理(Rational root theorem)可以用來求得一個五次方程的一個(比例)根,它就可以被除掉以得到一個四次商式;然後使用四次方程求根的顯式公式求得剩餘的根。
尋找多項式的切線
多項式長除法可以用來在給定點上查找給定多項式的切線方程。[2] 如果 R(x) 是 P(x)/(x-r)2 的餘式——也即,除以 x2-2rx+r2——那么在 x=r 處 P(x) 的切線方程是 y=R(x),不論 r 是否是 P(x) 的根。

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