多步法

多步法用於普通微分方程的數值解。 從概念上講，一個數值方法從一個初始點開始，然後在時間上向前邁出一小步，找到下一個解點。 該過程以後的步驟來繪製解決方案。 單步方法（如歐拉方法）只指一個前一點及其導數來確定當前值。 諸如Runge-Kutta的方法採取一些中間步驟（例如，半步）來獲得更高階的方法，但是在進行第二步之前丟棄所有先前的信息。 多步法嘗試通過保留和使用先前步驟的信息而不是丟棄它來提高效率。 因此，多步法是指前幾個點和導數值。 在多步法的情況下，使用先前點和導數值的線性組合。

基本介紹

• 中文名：多步法
• 外文名：multistep method
• 學科：數學
• 目的：求出函式 y(x)，使滿足條件
• 特點：用於普通微分方程的數值解
• 相關名詞：歐拉法

簡介

多步法用於普通微分方程的數值解。 從概念上講，一個數值方法從一個初始點開始，然後在時間上向前邁出一小步，找到下一個解點。 該過程以後的步驟來繪製解決方案。 單步方法（如歐拉方法）只指一個前一點及其導數來確定當前值。 諸如Runge-Kutta的方法採取一些中間步驟（例如，半步）來獲得更高階的方法，但是在進行第二步之前丟棄所有先前的信息。多步法嘗試通過保留和使用先前步驟的信息而不是丟棄它來提高效率。 因此，多步法是指前幾個點和導數值。 在多步法的情況下，使用先前點和導數值的線性組合。

具體定義

普通微分方程的數值方法近似解決了形式初始值問題

結果是在離散時間t_i的y（t）的值的近似值：

其中 h是時間步長，i是整數。

多步法使用先前s步驟的信息來計算下一個值。特別地，多步法使用yi和f（ti，yi）計算所需當前步驟的y的值。因此，多步法是下面這種形式的方法：

係數ai和bi確定方法。該方法的設計者選擇係數，平衡了對真正解決方案的需求，以求獲得易於套用的方法。通常，許多係數為零以簡化該方法。

可以區分顯式和隱式方法。如果bi = 0，則該方法稱為“顯式”，因為該公式可以直接計算y_{n + s}。如果bi ≠ 0，則該方法稱為“隱式”，因為y_{n + s}的值取決於f（t_n+s，y_n+s），必須為y_n+s。疊代方法，如牛頓法，常用於解決隱式公式。

有時使用顯式多步法來“預測”y_n+s的值。該值然後在隱式公式中用於“更正”該值。結果是預測器校正方法。

例子

考慮一個例子：

確切的解是

一步歐拉

一個簡單的數值方法是歐拉的方法：

歐拉方法可以被看作是一步的退化情況的顯式多步法。

該方法適用於問題y'= y的步長h=1/2，給出以下結果：

多步

通常使用三類多步法：Adams-Bashforth方法，Adams-Moulton方法和後向微分方程（BDF）。

Adams-Bashforth方法

Adams-Bashforth方法是很明確的方法。 係數是a_s-1=-1，其他均為0，而bj被選擇為使得方法具有順序s（這獨特地確定方法）。

Adams-Moulton方法

Adams-Moulton方法類似於Adams-Bashforth方法，因為它們還具有a_s-1=-1，其他均為0。 再次選擇b係數以獲得可能的最高級。 然而，Adams-Moulton方法是隱式方法。 通過刪除bs = 0的限制，Adams-Moulton方法可以達到s + 1，而Adams-Bashforth方法只有s。

向後分化公式（BDF）

BDF方法是使用b_s-1=······= b₀=0的隱式方法，並選擇其他係數使得該方法達到最大。 這些方法特別用於解決剛度的微分方程。

相關知識

第一和第二達爾斯基：

這兩個結果由達爾斯基證明，是線性多步法收斂順序和A穩定性的重要界限。 達爾奎斯特（Dahlquist）（1956年）證明了第一個達爾斯奎斯（Dahlquist）的障礙，第二個在達爾奎斯特（1963）證明。

第一達爾斯基

如果q是奇數，則q穩定和線性q步多步法不能達到大於q + 1的收斂階數，如果q是偶數，則不能達到q + 2。 如果方法也是明確的，那么它不能達到比q大的順序（Hairer，Nørsett&Wanner 1993，Thm III.3.5）。

第二達爾斯基

沒有明確的A穩定和多步法。 隱含的收斂階數最多為2.梯形規則在階數為2的A穩定線性多步法中具有最小的誤差常數。