多導體系統

多導體系統是3個或更多個導體組成的靜電系統。若這樣的導體系統中總電荷代數和為零，便稱之為獨立的多導體靜電系統。系統特點是與外界沒有聯繫。

基本介紹

• 中文名：多導體系統
• 外文名：system of conductors
• 定義：3個或更多個導體組成的靜電系統
• 系統特點：與外界沒有聯繫
• 學科：物理

概念

系統定義

多導體系統 （system of conductors ）是指多個導體組成的靜電系統。若這樣的導體系統中總電荷代數和為零，便稱之為獨立的多導體靜電系統。

系統特點

在多導體系統中，所有電力線全部從此系統內的 帶電體發出並終止在系統內的帶電體上，與外界沒有聯繫；導體間的電場分布只與系統內各帶電體的形狀、尺寸、相對位置及電介質有關而與系統外的帶電體無關。

導體之間的關係

對於n+1個導體組成的靜電獨立系統

q₀+q₁+q₂+…+q_n=0

式中q₀、q₁、q₂、…、q_n分別為各導體的電荷，設q₀屬於電位為零的參考導體。若電介質的介電常數不隨電場強度而變化，則導體系統便是線性的。對於靜電獨立線性系統，各導體的電位φ_k與電荷q_j(j，k=1，2，…，n)有以下關係：

φ₁=α₁₁q₁+α₁₂q₂+…+α_1nq_n

φ₂=α₂₁q₁+α₂₂q₂+…+α_2nq_n

………………

φ_n=α_n1q₁+α_n2q₂+…+α_nnq_n

或以矩陣形式表示為

[φ]=[α][q]

式中α為電位係數。α_kk 稱為導體K的自電位係數；α_jk 稱為導體j與K的互電位係數，且α_jk=α_kj。所有各電位係數均為正值。由上式可導出電荷與電位間的關係為 q₁=β₁₁φ₁+β₁₂φ₂+…+β_1nφ_n

q₂=β₂₁φ₁+β₂₂φ₂+…+β_2nφ_n

………………………

q_n=β_n1φ₁+β_n2φ₂+…+β_nnφ_n

其矩陣形式為

[q]=[β][φ] [β]=[α]-1

式中β為感應係數；β_kk為導體K的自感應係數，又稱電容係數；β_jk為導體j與K的互感應係數，且β_jk=β_kj。β_kk >0，但β_jk≤0。經過一些變換，還可得出電荷與電壓間的關係為

q₁=C₁₀φ₁+C₁₂(φ₁－φ₂)+…+C_1n(φ₁－φ_n)

q₂=C₂₁(φ₂－φ₁)+C₂₀φ₂+…+C_2n(φ₂－φ_n)

…………………………

q_n=C_n1(φ_n－φ₁)+C(φ_n－φ₂)+…+C_n0φ_n

及

C_k0=β_k1+β_k2+…+β_kn

C_jk=－β_jk

式中C為部分電容；C_kk為自部分電容；C_jk為互部分電容，且C_jk=C_kj。部分電容均為正值。使用部分電容在研究導體系統的電位與電荷關係時，可以將多導體系統化為等效的電容電路來分析。

電位係數的單位為1/法(拉)，感應係數與部分電容的單位均為法(拉)。3類係數均只與導體的形狀、尺寸、相對位置及電介質有關，線上性介質中，與系統的電荷及電位無關。

多導體系統的廣義Collin原則

在電磁變分領域中，上下界的估值一直是研究的重要問題。Collin由研究二維導體傳輸線之間的電容變分穩定而提出了著名的Collin原則。它可以簡單描述如下：如圖1所示，S₁作為內導體，S₂作為外導體一起構成雙導體傳輸線。其單位長度的電容記為C₀。現設S′₁在S₁的外部，而S″₁在S₁的內部，並分別假設S′₁與S₂和S″₁與S₂之間的電容為C′和C″，則文獻證明由變分極值原理可知：

圖1 Collin原則

C′> C₀ >C″

換句話說，C′和C″可分別作為電容精確值的上界和下界估計。文獻給出了Hermite運算元的本徵值估值定理。值得指出，林為乾推廣了Collin原則的套用，並得到了一批各種傳輸線電容和特性阻抗的很好近似公式。

多導體系統Collin原則

圖2給出典型的由n個孤立導體構成的多導體系統。作為一般情況，每個導體上分別加上電壓V₁，V₂， …，V_i， …，V_n，而儲存的電荷則分別為q₁，q₂， …q_i， …，q_n。於是可寫出[C] [V] =[q]。

圖2 多導體系統

其中[C]為電容矩陣，且有[C]^T=[C][ ]^T，表示矩陣轉置。和孤立導體的情況類似，[C]是空間導體分布和媒質分布的函式，與[V]和[q]無關，它是特徵矩陣。

多導體系統套用實例

作為典型例子，研究如圖3所示的對稱平行方桿(W×W)的奇模電容即C([1，-1])。假定我們知道對稱平行圓桿的相關數據。

圖3 對稱平行耦合方桿

根據廣義Collin原則，本文採用與方桿等周長的圓作為模式電容的逼近值。其物理意義是：對於二維情況，在相同的電壓條件下，若假定方桿和圓桿電荷都是均勻分布，則兩者有相同的電荷(二維分布於周長，且z=1)。於是有相同的電容，這是廣義上的平均意義。

研究結論

本文把Collin變分原則推廣到孤立導體和多導體系統。利用廣義平均意義：等表面積的導體估計電容逼近值，不僅方法簡單，而且從套用實例看出，其估計值很靠近於真實值。這一工作將有助於快速估計複雜系統的電容，同時確切了解問題的上下界。

複雜多導體系統電磁瞬態快速計算方法

電力系統中包含大量的多導體系統，如變壓器、電抗器及接地網等，由於系統中導體數量龐大，這類系統將對應一種大規模耦合複雜電路模型，從而導致電磁瞬態仿真運算量巨大，瞬態計算複雜度高，快速求解困難。波形鬆弛法是一種疊代求解方法，其主要思想是通過將系統分解成若干個子系統然後疊代求解。由於子系統相對於整個系統規模小很多，減小了記憶體的占用，從而使得大規模電路瞬態仿真成為可能。波形鬆弛法首次被用於電路分析的是Lelarasmee等人。文獻在利用波形鬆弛法求解RC梯形電路時發現算法的收斂速度具有頻率相關特性，並提出了一種用於改善RC梯形電路低頻收斂特性的改進波形鬆弛法。Gander等人為了改善波形鬆弛法的收斂速度，提出了基於軸向分解的波形鬆弛法。Nakhla教授領導的課題組近年來針對印製板互連線系統的高效求解開展了一系列研究工作，提出了基於橫向分區的波形鬆弛技術(Waveform Relaxation and Transverse Partitioning，WR-TP)。該方法的基本思想是將傳輸線進行橫向維數截斷，即將多導體傳輸線分解為多根單導體傳輸線，進而通過疊代方式實現仿真計算。進一步研究發現，網路中參數的耦合越強，WR-TP達到收斂所需要的疊代次數越大，因此對於強耦合電路，WR-TP的計算效率較低。針對該問題，文獻基於系統分解思想提出了一種基於重疊分區的強耦合多導體傳輸線系統的新型波形鬆弛法，該方法根據導體之間的耦合強弱關係實現整個系統分解，將耦合較強的導體劃分在同一個子系統中，子系統間存在重疊區域，算例分析表明這種重疊分區的處理方法可加快收斂速度。

由此可見，基於重疊分區的波形鬆弛法其收斂速度與網路分解後各個子網路間的耦合強弱密切相關，但現有文獻中採用的重疊分區技術僅是通過數值仿真實驗對算法的收斂速度進行簡單討論，並沒有給出網路分區的方法和依據。考慮到網路函式關於耦合參數的導數體現了耦合參數對網路輸出的巨觀影響，本文提出了一種基於網路靈敏度分析的電路耦合強度的判別方法和網路分區技術，並基於該方法實現了具有快速收斂速度的多導體系統波形鬆弛法，最後通過算例驗證了算法的正確性與高效性。

多導體系統的PEEC模型

PEEC模型是建立多導體系統電路模型的一種非常有效方法，其是將導體視為細線結構，並依據導體尺寸與瞬態激勵的波長關係將各導體劃分為若干線元，線元之間的電磁耦合則通過部分電感和部分電容進行描述。每一段線元的PEEC模型拓撲如圖4所示，其中與電感支路串聯的受控電壓源表示其它單元與本單元間的互電感耦合，與電容支路並聯的電流源表示其它單元與本單元的互電容耦合。

圖4 單元拓撲電路

基於靈敏度的多導體系統耦合強度分析

網路靈敏度是指“網路函式”對“元件參數”的敏感程度，網路中導體間互電感和互電容等耦合參數的靈敏度大小反映了耦合參數對衝擊特性的影響。由於絕對靈敏度不能確切的表明參數對網路特性的影響程度，所以通常採用相對靈敏度，其為網路函式的相對變化量與元件參數的相對變化量的比值。

圖5 強耦合分布圖

網路靈敏度的計算方法一般有伴隨網路法、導數網路法等方法，前者更加適合大型網路，所以本文基於伴隨網路法推導了網路函式關於耦合參數的靈敏度計算公式。從互電感和互電容的靈敏度分析可以發現，網路中在以田字格型方塊內的導體之間耦合較強，如圖5所示。因此，在對網路分區時應將此強耦合區域置於同一個子網路中，即子網路之間的重疊區域應包含此強耦合區。

研究結論

波形鬆弛法的主要思想就是將大網路分成多個子網路進行疊代計算，但分區應儘可能不破壞導體之間的強耦合關係。雖然重疊分區能夠很好地保留導體之間的耦合，重疊部分越多收斂速度越快，但重疊區域越多將導致各子個網路的計算複雜度增加，因此合理的重疊大小能夠進一步提高計算效率。本文基於靈敏度分析提出的多導體系統瞬態計算的分區方法，可有效判別導體之間的強弱耦合關係，基於這種強弱耦合關係對整體網路進行分區，並結合波形鬆弛法進行疊代計算，能夠大大的提高計算效率。本文方法的正確性和高效性均通過算例和實驗得到了驗證。本文方法可直接套用於求解如變壓器、 電抗器繞組、 變電站地網、 高速鐵路綜合接地系統等含有大規模多導體系統的電磁瞬態計算。此外， 由於網路分解後各個子網路的內部求解相互獨立，可結合併行計算進一步加快求解速率， 這也是本文後續將開展的工作。