坡印亭定理

坡印亭定理，英文表示Poynting theorem，是1884年約翰·坡印亭（John Poynting）提出的關於電磁場能量守恆的定理。他認為電磁場中的電場強度E與磁場強度H叉乘所得的矢量,即E×H=S，代表電磁場能流密度，表示一個與垂直通過單位面積的功率相關的矢量。人們稱這個矢量S為坡印廷矢量。坡印亭定理表明，在電磁場中的任意閉合面上，坡印廷矢量的外法向分量的閉面積分，等於閉合面所包圍的體積中所儲存的電場能和磁場能的時間減少率減去容積中轉化為熱能的電能耗散率。

基本介紹

• 中文名：坡印亭定理
• 外文名：Poynting theorem
• 別名：坡印廷定理
• 提出者：約翰·坡印亭（John Poynting）
• 提出時間：1884年
• 適用領域：電磁波與微波技術

定理公式

電磁能量一如其他能量服從能量守恆原理，坡印亭定理用來表征電磁場能量守恆關係的。

積分形式的坡印廷定理

對於由閉合曲面S所限定的體積V，有：

式中：J是電流密度；E是電場強度；H是磁場強度；B是磁感應強度；D電位移矢量

其中： ——在單位時間內體積 V 內所增加的電磁場能量；

——單位時間內電場對體積V中的電流所做的功，導電媒介中 即為體積V內總的消耗功率。

——單位時間內通過曲面進入體積V的電磁能量

所以矢量ExH定義為電磁能流密度矢量S（坡印廷矢量），即

這樣，若已知某點的E和H，即可求出該店的能流密度矢量。

這就是電源外區域的、積分形式的坡印亭定理。它的含義是：垂直穿過閉合面S進入體積V的功率，等於體積內電磁儲能的增長率與由傳導電流J引起的功率損耗之和,更一般的情況是：

式中E_c為電源中的局外場強，J_c為傳導電流，σ為體積V內介質的電導率，ρ為運動電荷的電荷密度，v為該電荷的運動速度，E=J_c/σ-E_e為總場強，W為 。

整個方程的含義是：外源提供的功率等於體積V內電磁能量的增加率、傳導電流的功率損耗、運動電荷作功耗損的功率、垂直穿過曲面A向外界輸送的功率之總和。

微分形式的坡印廷定理

在體積V上，對上式兩端積分，並套用散度定理，即可得到坡印亭定理積分形式。

推導過程

坡印亭定理可由麥克斯韋方程組推導出來。假設閉合面 S 包圍的體積 V 中無外加源，媒質是線性的、各向同性的且參數不隨時間變化。

分別用E 點乘方程[1]、H 點乘方程[2]，得

將[3]、[4]兩式相減，得到

線上性、各向同性的媒質中，當參數不隨時間變化時

將[6]、[7]式代入[5]，於是得到，

再利用矢量恆等式

可得到

這就是坡印亭定理的微分形式，在體積 V 上，對[9]式兩端積分，並套用散度定理，即可得到

這就是表征電磁能量守恆關係的坡印亭定理

定理影響

坡印亭定理給出了時變電磁場能量傳播的一個新圖像，電磁場能量通過電磁場傳播。這對廣播電視、無線通信和雷達等套用領域是不難理解的。

恆定電流或低頻交流電的情況下，場量往往是通過電流、電壓及負載的阻抗等參數表現，表面上給人造成了能量是通過電荷在導線內傳輸的假象。

如果能量真的是通過電荷在導線內傳輸，常溫下導體內的電荷運動速度約為10m/s，電荷由電源端到負載端所需時間約是場傳播時間的億萬倍。

電磁場能量通過電磁場傳播，負載只需通過極短（t=L/c，其中c為光速）的時間就能得到能量的供應。