散度定理

散度定理，又稱為高斯散度定理、高斯公式、高斯－奧斯特羅格拉德斯基公式或高－奧公式，是指在向量分析中，一個把向量場通過曲面的流動（即通量）與曲面內部的向量場的表現聯繫起來的定理。它經常套用於矢量分析中。矢量場的散度在體積τ上的體積分等於矢量場在限定該體積的閉合曲面s上的面積分。

基本介紹

• 中文名：散度定理
• 外文名：divergence theorem
• 別稱：高斯散度定理；高斯定理
• 提出者：高斯
• 套用學科：物理學
• 適用領域範圍：向量場

概念

散度定理是指在向量分析中，一個把向量場通過曲面的流動（即通量）與曲面內部的向量場的表現聯繫起來的定理。更加精確地說，散度定理說明向量場穿過曲面的通量，等於散度在曲面圍起來的體積上的積分。直觀地，所有源點的和減去所有匯點的和，就是流出這區域的淨流量。

高斯公式在工程數學中是一個很重要的結果，特別是靜電學和流體力學。

在物理和工程中，散度定理通常運用在三維空間中。然而，它可以推廣到任意維數。在一維，它等價於微積分基本定理；在二維，它等價於格林公式。

這個定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。

定理

設空間閉區域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍起來的三維區域，函式P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一階連續偏導數，則有

或

這裡Σ是Ω的邊界（boundary），cos α、cos β、cos γ是Σ在點(x,y,z)處的單位法向量的方向餘弦。

這兩個公式都叫做高斯公式，不過這兩公式僅僅是表達方式不同，其實是相同的定理，這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於 ，其中 是曲面 的向外單位法向量。

表示方法

用散度表示

高斯公式用散度表示為：

其中Σ是空間閉區域Ω的邊界曲面，而 是曲面Σ上的朝外的單位法向量。

用向量表示

令V代表有一間單閉曲面S為邊界的體積， 是定義在V中和S上連續可微的向量場。如果 是外法向向量面元，則

推論

• 對於標量函式g和向量場F的積，套用高斯公式可得：
  

• 對於兩個向量場{\displaystyle \mathbf {F} \times \mathbf {G} }的向量積，套用高斯公式可得：
  

• 對於標量函式f和非零常向量的積，套用高斯公式可得：
  

• 對於向量場F和非零常向量的向量積，套用高斯公式可得：
  

例子

假設我們想要計算 其中S是一個單位球面，定義為 F是向量場：

直接計算這個積分是相當困難的，但我們可以用高斯公式來把它簡化：

其中W是單位球:

由於函式y和z是奇函式，我們有：

因此：

因為單位球W的體積是4π3.

圖1.例題中向量場

說明：例子所對應的向量場。注意，向量可能指向球面的內側或者外側。

二階張量的散度定理

二階張量的高斯公式實際上是上面的高斯公式的推論。為了使內容完整，首先簡要地介紹三維歐幾里得空間上的二階張量（詳見並矢張量或張量積）以及相關的概念和記號。在這裡，向量和向量場用黑斜體字母表示，張量用正黑體字母表示。

1)兩個向量a和b並排放在一起所形成的量ab被稱為向量a和b的並矢或並矢張量。注意，一般來說.

2)ab=0的充分必要條件是a=0或b=0。

3)二階張量就是有限個並矢的線性組合。

4)ab分別線性地依賴於a和b。

5)二階張量T和向量a的縮並T*a以及a*T對, T和a都是線性的。

6)特別是，當T=uv時，

所以，一般來說，。

定理：

設V是三維歐幾里得空間中的一個有限區域，S是它的邊界曲面， 是S的外法線方向上的單位向量，T是定義在V的某個開鄰域上 的連續的二階張量場， 是T的轉置，則