圓內接五邊形是指內接於圓的五邊形。圓內接五邊形的內角和等於540°。
基本介紹
- 中文名：圓內接五邊形
- 外文名：the inscribed regular pentagon of a circle
- 所屬學科：數理科學
- 所屬類別：平面幾何
- 性質：內角和等於540°
圓內接正五邊形,鑽石五邊形,對稱五邊形,
圓內接正五邊形
圓內接正五邊形圓內接正五邊形的定義與性質：
定義 | 內接於圓的正五邊形是圓內接正五邊形 |
性質 | 圓內接正五邊形五條邊長度相等。（即圓的五條弦長度相等） |
圓內接正五邊形的五個內角相等，都是108° | |
圓內接正五邊形的五條邊在圓內所對的五條優弧長度相等 | |
圓內接正五邊形的五條邊在圓內所對的五條優弧的弧度數相等 |
圓的五等分及圓內接五邊形作法
作圖步驟：
(1)畫一互相垂直的中心線並作圓，確定圓心為O。
(3)以A為圓心，以A1為半徑畫弧，交OD於B點。
(4)以1B為半徑，用畫規或圓規在圓上分別畫弧取1、2、3、4、5點，即完成圓的五等分。 ’
(5)分別連線12、23、34、45、51，即完成圓內接五邊形。
1991年，王振和陳計老師用Galois理論證實了一個命題，即：圓內接五邊形的面積一般不能用邊長的根式表示．但是，對於某些邊長出現重複的圓內接五邊形，仍能給出其根式形式或三角形式的面積公式．比如正五邊形，設其邊長為口，則其面積
．除此之外，其他特殊類型的圓內接五邊形及其面積公式似乎尚未被研究發表．這裡列出兩類邊長出現重複的圓內接五邊形——“鑽石五邊形”和“對稱五邊形”，並分別給出二者的面積公式．
鑽石五邊形
定義：稱邊長依次為b，a，a，a，b的圓內接五邊形為“鑽石五邊形”(如圖）
面積F=
對稱五邊形
定義 稱邊長依次為b，a，c，a，b(c<2a+2b)的圓內接五邊形為“對稱五邊形”(如圖)．
面積F=
“鑽石五邊形”和“對稱五邊形”兩類圓內接五邊形同構形的面積公式
定義:稱兩個邊長相同、邊的排列次序不同的圓內接n邊形互為同構形．
我們要給出的結論是：“鑽石五邊形”同構形與“鑽石五邊形”有相同的面積公式；“對稱五邊形”同構形
與“對稱五邊形”也有相同的面積公式．
事實上，我們可以得到更廣的結論：同構的圓內接n邊形面積相等．證此結論需藉助如下引理(該引理是
判定三角形全等的“邊邊邊”定理的推廣.
引理:兩個對應邊長相等的圓內接凸n邊形全等．
證明 以P表示凸n邊形A1A2…An，Q表示凸n邊形B1B2…Bn，令R和r分別為P和Q的外接圓半徑．
如果P和Q的外接圓半徑不相等，設R>r．不妨設A1A2和B1B2分別為P和Q的最長邊．由於外接圓半徑愈大，等長的弦所張成的圓心角(及跟圓心同側的圓周角)愈小，所以對於i=2，3，…，n一1，由於R>r，故∠Ai-1AnAi<∠Bi—1BnBi，於是∠A1AnAi=∠A1AnA2+∠A2AnA3+......+∠Ai-1AnAi<∠B1BnB2+∠B2BnB3+∠Bi-1BnBi=∠B1BnBi同理∠AnA1Ai<∠BnB1Bi．如圖，把A1An移至跟B1Bn重合．考慮ΔA1AnAi和ΔB1BnBi(i=2，3，…，n-1)，由上可知，ΔA1AnAi被ΔB1BnBi覆蓋，即頂點Ai是ΔB1BnBi的內點，當然也就是凸n邊形Q的內點．因此P完全被Q所覆蓋，且P不與Q重合．根據凸多邊形的周界性質，凸n邊形P的周長嚴格小於凸n邊形Q的周長，這與兩者對應邊長相等的已知條件矛盾．所以P和Q的外接圓半徑相等，並因此P和Q全等．引理證畢．證明上面提及的“更廣的結論”．記A和B是兩個同構的圓內接n邊形，以A的外接圓圓心O為頂點，以A的各邊為底邊可形成n個等腰三角形，在圓O中將這n個等腰三角形調換位置按頂點在O處重新拼接，使得各底邊與B中各邊的排列次序相同．記這個由A生成，與B中各邊排列次序相同的圓內接n邊形為C，由於這種變換是等積變換，所以C和A面積相等．又由於C和B是兩個對應邊長相等的圓內接凸n邊形，根據引理，二者全等，所以面積相等．於是A和B的面積相等．
