單向方差分析

單向方差分析亦稱單因子方差分析、F-檢驗或F-比值，是由菲希爾(R.A.Fisher)和他的英國同事開發的。這個檢驗以Fisher的第一個字母命名。當有三個或更多個獨立組和僅有一個獨立變數時採用單向方差分析。它同時檢驗這些組平均數之間的差別顯著性。單向方差分析的目標是求出這些組平均數之間的變化是否也是偶然的原因。單向方差分析是一種方式分組的方差分析，單因子析因試驗數據的統計分析。單向方差分析的基本問題估計和比較多個等方差正態總體的均值。用於單個實驗變數中兩種處理以上的獨立隨機樣本，叫做完全隨機設計(單向)，在這種設計中的F檢驗，即為單向方差分析。

基本介紹

• 中文名：單向方差分析
• 外文名：One-Way analysis of variance;One-Way ANOVA
• 別名：單因子方差分析、F-檢驗或F-比值
• 所屬學科：數學（統計學）
• 簡介：最簡單的方差分析方法
• 相關概念：總方差、組間方差和組內方差
• 提出者：菲希爾(R.A.Fisher)等

單向方差分析的基本概念

單向方差分析又稱單因素方差分析，是最簡單的方差分析方法。所謂的單向(One-Way)就是分析數據中只有一個自變數(又叫因素)。在完全隨機化的(completely randomized)單向方差分析中，有三個方差：總方差(SS_t)、組間方差(SS_b)和組內方差(SS_w，即誤差)。三個方差之間的關係是：。各個方差的計算公式及自由度為：

公式中，n是獨立樣本的容量，k是處理組數，是各個獨立組樣本觀測值的平均數，(g是grand的縮稱)是各個獨立組所有觀測值的平均數，屬第j組第i個數值，是第j組觀測值的平均數。在實際計算中，我們只需求出兩個方差，再根據三個方差之間的數學關係就可以求出另一個方差。它們的均方公式為各自的方差除以各自的自由度：

(代表總均方，代表組間均方，代表組內均方)，也可以寫成：

單向方差分析除了要求滿足方差分析的一般條件之外，還要求各組獨立且各觀測值獨立。單向方差分析中，F統計量為組間均方與組內均方(即誤差均方)之比：

當零假設成立時，F統計量服從自由度為的F分布。F統計量檢驗只能告訴我們在比較的各組(比如三組)平均數中是否至少在兩個組之間有顯著差異性存在，但是不能告訴我們顯著差異性具體表現在哪個或哪些成對組之間。因此，當方差分析發現不同組之間有顯著性差異時，如果想要準確知道顯著性差異的位置，就需要利用事後多重比較(post hoc multiple comparisons)。組間配對比較的次數為。譬如，如果自變數有三個水平，則需要比較的配對數為三對。事後多重比較的方法有多種，下面介紹最為常用的一種方法——Scheffe檢驗(the Scheffe test)。

Scheffe檢驗

Scheffe檢驗可控制整體水平，具有很強的穩健性（robust），也是最為保守的事後比較方法之一。如果兩組數值的平均數差異的絕對值大於Scheffe檢驗臨界值，我們可以認為兩組平均數有統計上的顯著差異存在。相反，如果兩組數值的平均數差異的絕對值小於Scheffe檢驗臨界值，則可以認為兩組平均數沒有統計上的顯著差異。計算Scheffe臨界值的公式為：

其中，CV(critical value)代表Scheffe臨界值，k是處理組數(自變數的組數或水平)，是在水平上來自自由度為(如果各組樣本容量不等，則的F分布的一個值，MS_w代表組內均方差，分別表示比較的兩個獨立樣本的容量(如果樣本容量相等，可用n代替)，是Seheffe法平均數標準誤差，與各獨立樣本容量的大小有關。當各組樣本容量相等時，各配對比較的樣本平均數的標準誤差相等。當時，可以斷定A和B兩組的平均數有顯著性差異。相反，如果，則認為A和B兩組的平均數沒有顯著性差異。

套用舉例

為了計算的方便，下面的例子採用小樣本。在實際研究中，要採用更大的樣本，並要在SPSS統計中對樣本進行方差齊性檢驗。

某高校英語教師對理科、文科和英語專業各10名大學一年級學生進行了聽力水平測試(滿分為20分)，成績如下：

文科組(組1)聽力成績：13 12 15 13 12 11 10 8 7 5

理科組(組2)聽力成績：17 16 15 14 14 11 13 12 10 8

英專組(組3)聽力成績：16 18 12 15 13 10 16 15 17 18

試問：三個不同專業的學生聽力成績是否有顯著的差異?

本題涉及三個不同類型組在同一個連續性因變數(聽力成績)方面的比較，符合單向方差分析的條件。

【解】已知：n=10，k=3。根據原數據求得：將結果代入公式，求得

根據F統計量公式，求得

根據，查F分布表，得到臨界值=3.35。統計量F=6>=3.35，所以p<0.05，拒絕零假設，即認為三個組之間有顯著的差異。

本題中各獨立樣本的容量相等，所以各組配對比較時的Scheffe臨界值相等。我們知道n=10，k=3，=3.35，MS_w=8.089，據此求得Scheffe臨界值：

本例中需要比較的三組平均數差異的絕對值分別是：。只有組1和組3平均值差異(組3高於組1)有顯著性意義，由此可以得出結論：英專學生的聽力成績明顯好於文科學生，但是與理科學生沒有顯著差異；文科學生與理科學生的聽力成績沒有顯著差異。