可微映射

設D是Rⁿ中的一個區域，f：D→Rⁿ是以D為定義域的映射，如果f在D上的每一點處可微，則稱f為D上的可微映射。

基本介紹

• 中文名：可微映射
• 外文名：differentiable map
• 所屬學科：數學（微分拓撲學）
• 相關概念：可微，連續映射等

連續映射

設D是中的一個區域，稱映射為（n元m值）向量值函式。顯然，對應於m個n元函式：

因此，常把映射用分量表示為。當m=1時，就是n元函式。

定義 設D是中的一個區域，是以D為定義域的映射，，如果

則稱當時以為極限，記作。

當時，如果

則稱映射在點連續；如果在D上的每一點處連續，則稱為D上的連續映射或連續的向量值函式。

定理1 設是從上某區域D到的映射，

其中為常向量，則

(1) 的充要條件是；

(2) 在點連續的充要條件是m個n元函式均在點連續。

可微映射

設D是 中的一個區域， 是以D為定義域的映射， ，如果對於自變數 的增量 ，因變數 的增量 可以分解為

其中 是一個 陣， 是m維空間中的向量，它的各分量均是比 高階的無窮小量，則稱映射 在 點可微，其微分為

其中 ， ，這裡的 稱為映射 的Jacobi矩陣，也稱作映射 在點 的導數，常記作 。

如果 在D上的每一點處可微，則稱 為D上的可微映射。

定理2 設 是從 上某區域D到 的映射，

其中 ，則映射 在點 可微的充要條件是諸 在點 均可微，當 在點 可微時，相應的Jacobi矩陣為

此時有

複合映射求導的鏈式法則

設 ，記 ；又設 ，記 ，考察定義於 上的複合映射 ，它用分量表示就是 ，其中

定理3 如果 均是可微映射，則

上式寫成矩陣形式就是