反自反關係(anti-reflexive relation)是一種特殊的關係，指任何事物與其自身之間都不具有的那種關係。用符號表示：R是A上的反自反關係⇔∀a(a∈A→¬(aRa))。當A上的R為反自反關係時，稱R在A上是反自反的，或說A上的關係R有反自反性。例如，整數集上的關係R={〈x，y〉|x大於y}是反自反的，又如人群中關係G={〈x，y〉|x是y的父親}是反自反的。一個關係不能既是自反的又是反自反的，但存在既不是自反的又不是反自反的關係。如A={a，b}上的二元關係R={〈a，a〉，〈a，b〉}。當A上的關係R是反自反的時，A的矩陣的主對角線上的元素全為0。
基本介紹
- 中文名：反自反關係
- 外文名：anti-reflexive relation
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：集合論（二元關係）
- 相關概念：二元關係，自反關係等
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基礎知識
二元關係
若
稱R為空關係。
若R=A×B，稱為全關係。
當A=B時，稱二元關係
為A上的二元關係。
當A=B時，記
稱之為A上的恆等關係。
自反關係與反自反關係
即R是A上的自反關係
。
定義2令R是A上的二元關係，若不存在A中的
，使得
，則稱R具有反自反性(或稱R是反自反關係)。
即R是A上的反自反關係
。
自反的關係亦稱“具有反身性的關係”。對於類K中一個確定的關係R來說，若類K中任意的個體和它自身都具有關係R，則稱關係R在類K中為自反的關係。若類K中沒有一個個體和它自己具有關係R，則稱關係R在類K中為反自反的關係。若類K中有的個體和它自己具有關係R，而有的個體和它自己不具有關係R，則稱關係R在類K中為非自反的關係。例如，設類K為實數域，則等於關係“=”是自反的關係，大於關係“>”，小於關係“<”都是反自反的關係。“x的平方數是Y”的這種關係就是非自反的關係。因為0的平方數是0，1的平方數是1，即當x為0(或1)時，y也同時為0(或1)，但當x為其它實數時，x的平方數y就不能再與x相同了。所以，“x的平方數是y”的這種關係就既不是自反的關係，也不是反自反的關係，而是非自反的關係。
例題解析
【例1】設A={1，2，3，4}，下列幾個是A 上的二元關係。
R1={<1，1>，<1，2>，<2，1>，<2，2>，<3，4>，<4，1>，<4，4>}；
R2={<1，1>，<1，2>，<2，1>}；
R3={<1，1>，<1，2>，<1，4>，<2，1>，<2，2>，<3，3>，<4，1>，<4，4>}；
R4={<2，1>，<3，1>，<3，2>，<4，1>，<4，2>，<4，3>}；
R5=(<1，1>，<1，2>，<1，3>，<1，4>，<2，2>，<2，3>，<2，4>，<3，3>，<3，4>，<4，4>}；
R6={<3，4>}。
其中，哪些是自反關係? 哪些是反自反關係?
解:關係R3，R5是自反的，因為它包括所有形如<a，a>的序對。關係R4，R6是反自反的，因為它不包括任何形如<a，a>的序對。而關係R1，R2既不是自反的，也不是反自反的。因為R1中包含<1，1>，<2，2>，<4，4>，但不包含<3，3>；R2中包含<1，1>.但不包含<2，2>，<3，3>，<4，4>。
自反性和反自反性可以在關係圖和關係矩陣上非常直觀地反映出來。
例1中R3，R5的關係圖如圖1、2所示。
圖1
圖2可見自反關係的關係圖的每個結點上均含有自環。
R3，R5的關係矩陣
可見自反關係的關係矩陣的對角線上的元素全為1。
而R4，R6對應的關係圖每個結點上都沒有自環，對應的關係矩陣對角線上元素的值全有0，因此是反自反關係。
