基本介紹
- 中文名:反對稱矩陣
- 外文名:Skew-symmetric matrix
- 相關矩陣:對稱矩陣
- 類別:線性代數
- 特點:A(i,j)=-A(j,i)
- 套用領域:高等數學
定義,基本性質,性質1,性質2,性質3,注意事項,定理及其證明,定理1,定理2,
定義
基本性質
性質1
設A,B為反對稱矩陣,則A±B仍為反對稱矩陣。
證明過程:
設A,B為反對稱矩陣,即有
![](/img/e/6cf/524698b067de63008ff41a6a5f70.jpg)
![](/img/0/120/f9b18b559530d478a98e7271d923.jpg)
至此,根據反對稱矩陣的定義可得,A±B為反對稱矩陣。
性質2
設A為反對稱矩陣,則
仍為反對稱矩陣。
![](/img/4/07b/c05822fb22f470720aa1c4e02f84.jpg)
證明過程:
設A為反對稱矩陣,即有
![](/img/d/359/85500dc4b5022a166b5e49980f72.jpg)
則有
![](/img/7/293/9491b1bd471aa4037ecc54c6ad4b.jpg)
![](/img/4/c25/bc3d960c348208119b9cb2f584b3.jpg)
至此,根據反對稱矩陣的定義可得,
仍為反對稱矩陣。
![](/img/4/07b/c05822fb22f470720aa1c4e02f84.jpg)
性質3
設A為反對稱矩陣,B為對稱矩陣,則AB-BA為對稱矩陣。
證明過程:
已知A為反對稱矩陣,B為對稱矩陣,即有
![](/img/b/96f/5f5e5bf5149e331ecbe8091569e5.jpg)
故有:
![](/img/f/964/7ec3f9fecd9ebd019e40a7412408.jpg)
至此,根據反對稱矩陣的定義可得,AB-BA為對稱矩陣。
注意事項
(1)設A,B為反對稱矩陣,AB不一定是反對稱矩陣。
(2)設A為反對稱矩陣,若A的階數為奇數,則A的行列式為0;A的階數為偶數,則根據具體情況計算。
定理及其證明
定理1
奇數階反對稱矩陣的行列式必為0。
證明過程:
設A為反對稱矩陣,即有
設A為反對稱矩陣,即有
![](/img/d/359/85500dc4b5022a166b5e49980f72.jpg)
故有
![](/img/c/bd2/a78cb10fa018b76ece654c3a8795.jpg)
當n為奇數時,就由
,於是
。
![](/img/d/3e1/62a45b71d5a400012472deae56f1.jpg)
![](/img/9/ad6/63736925ed3500a1c608b74fd98f.jpg)
定理2
證明:
(1)設實反對稱矩陣A的特徵值
,相應的特徵值向量
,其中u,v是實向量。那么由
得到
![](/img/5/f45/95a7c2f9bdb2b8aae7e0be58f470.jpg)
![](/img/e/7a5/63ea10519eb89ccbef720ad6dea1.jpg)
![](/img/6/8e2/e1340855c81e0e8c2fbad6fe359a.jpg)
![](/img/2/8a9/23dce2b85438d9352c81c30f2c35.jpg)
即
![](/img/7/7fa/e05e7898cb3767ce2e5837c9e8e1.jpg)
分別等置兩邊的實部和虛部得到
![](/img/5/2a8/c49a728d05ea41ed42ac3e13abbf.jpg)
於是
![](/img/e/c97/cfb74f9d1dfe69114b42fa0711c3.jpg)
因為
(內積),所以上二式相加得到
![](/img/4/98c/afb40074a7528480fd3b54b519c4.jpg)
![](/img/1/97c/43d9638a75fc17bc6598298a8602.jpg)
![](/img/6/68d/35561d62e35dfed7de8b3f8dfdba.jpg)
![](/img/3/158/3bb69336b20471d21100c3bf9109.jpg)
![](/img/1/11b/44747356cf828d2fa165200fc63f.jpg)
![](/img/3/da4/2e4b2421e423e96876e7c7a927e7.jpg)
![](/img/f/e42/37bde7f7e8f111aea90193bc48f6.jpg)
於是由
推出a=0,從而
。
![](/img/9/d33/536ef3e3bd23d9fb38253da6f413.jpg)
![](/img/3/422/3fa949f89dbc047bb1dd4e41827b.jpg)
(2)由(1)中可得
,所以
,即
![](/img/0/b44/930e649dc91128d0feced280df5b.jpg)
![](/img/1/6b0/6ff8050f248c579ced4eb264b69c.jpg)
![](/img/6/79b/f68e0de8da047f17e9a9ce2c02bf.jpg)
![](/img/b/178/73b64387a14391288d5dc8e6fce9.jpg)
![](/img/e/972/5ede3b1523b08ed069ffd6f0c04c.jpg)
因為
,所以
。
![](/img/d/1fd/8a8bc677d2c728705d81f3c11aa5.jpg)
![](/img/3/792/476a29244bb3922cd767a621f2fa.jpg)