卡拉比–丘流形

數學上,卡拉比–丘流形(Calabi–Yau manifold)是一個的第一陳類為0的緊緻n維凱勒流形,也叫做卡拉比–丘 n-流形。

基本介紹

  • 中文名:卡拉比–丘流形
  • 外文名:Calabi–Yau manifold
  • 領域:數學
  • 提出者:卡拉比
簡介,例子,在弦論中的套用,

簡介

數學家卡拉比在1957年猜想所有這種流形(對於每個凱勒類)有一個里奇平坦流形的度量,該猜想於1977年丘成桐證明,成為丘定理(Yau's theorem)。因此,卡拉比–丘流形也可定義為“緊里奇平坦卡拉比流形”(compact Ricci-flat Kähler manifold)。
也可以定義卡拉比–丘n流形為有一個SU(n)和樂(holonomy)的流形。再一個等價的定義是流形有一個全局非0的全純(n,0)-形式。
卡拉比–丘流形的3維投影卡拉比–丘流形的3維投影

例子

在復一維的情況,唯一的例子就是面族。注意環上里奇平坦的度量就是一個平坦度量,所以和樂群(holonomy)是平凡群,也叫SU(1)。
在復二維的情形,環T和K3曲面組成了僅有的實例。T有時不被算作卡拉比–丘流形,因為其和樂群(也是平凡群)是SU(2)的子群而不是同構於SU(2)。從另一方面講,K3曲面的和樂群是整個SU(2),所以他可以真正成為2維的卡拉比–丘流形。
在復三維的情況,可能的卡拉比–丘流形的分類還是未解決的問題。3維卡拉比–丘流形的一個例子是復射影空間CP中的5次三流形。

在弦論中的套用

卡拉比–丘流形對於超弦理論很重要。在最常規的超弦模型中,弦論中有十個猜想中的維度,作為我們所知的4個維度出現,在加上某種纖維化,纖維的維度為6。卡拉比–丘n-流形的緊緻化很重要,因為他們保持一些原有的超對稱性不被破壞。更精確地說,卡拉比–丘 3-流形(實維度6)的緊緻化保持四分之一的原有超對稱性不變。

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