非線性穩定性分析中常用到割線剛度矩陣與切線剛度矩陣,其中,前者用於全量形式的平衡方程,後者用於增量形式的平衡方程。切線剛度矩陣常用於判斷臨界點的穩定性和對臨界點進行分類。基於有限元法,考慮了結構可能存在初始缺陷的情況,從結構的能量表達式出發,推導了二者之間的數學關係。具體做法是:針對具有任意多自由度和任意參數變數(如任意荷載或初始缺陷)的結構,從結構的通用總勢能泰勒級數展開式出發,推導得出結構的切線剛度矩陣和割線剛度矩陣之間的數量關係。
基本介紹
- 中文名:割線剛度矩陣
- 外文名:secant stiffness matrix
- 同類:切線剛度矩陣
- 套用學科:力學術語
- 範疇:數理科學
- 涉及:結構力學
概念,基本原理,
概念
非線性穩定性分析中常用到割線剛度矩陣與切線剛度矩陣,其中,前者用於全量形式的平衡方程,後者用於增量形式的平衡方程。切線剛度矩陣常用於判斷臨界點的穩定性和對臨界點進行分類。基於有限元法,考慮了結構可能存在初始缺陷的情況,從結構的能量表達式出發,推導了二者之間的數學關係。具體做法是:針對具有任意多自由度和任意參數變數(如任意荷載或初始缺陷)的結構,從結構的通用總勢能泰勒級數展開式出發,推導得出結構的切線剛度矩陣和割線剛度矩陣之間的數量關係。
基本原理
若把應力和應變都分解為偏張量與球張量之和:
和 分別為應力偏量和應變偏量, 和 分別為平均應力和平均應變:
對於各向同性彈性體,虎克定律可寫成:
對線性彈性體,應力偏量和應變偏量相似,比例常數為 。
現在來看彈塑性變形,根據實驗資料,假定材料的體積變化是彈性的,即 式子仍成立。塑性形變理論認為應變偏量和應力偏量仍相似,不過,相似係數 是與變形狀態有關的一個量:
當 時, 式子就是虎克定律。等效應力和等效應變可通過偏量分別表示為
和
將式子 代入 和 兩式,可以得到:
其中 是割線模量,是由單向拉伸壓縮的應力-應變曲線確定的。
此時由 、 、 、 、 和 這些式子,可得:
由條件 ,可以求得彈塑性狀態的泊松比:
式子成為 ,它形式上是與彈性體的虎克定律是一致的,不過對線性彈性體而言,彈性模量 和泊松比是常量,而式子中的割線模量和泊松比是隨應力、應變狀態而變化的,則彈塑性體的單元的割線剛度矩陣為。