割線剛度矩陣

非線性穩定性分析中常用到割線剛度矩陣與切線剛度矩陣，其中，前者用於全量形式的平衡方程，後者用於增量形式的平衡方程。切線剛度矩陣常用於判斷臨界點的穩定性和對臨界點進行分類。基於有限元法，考慮了結構可能存在初始缺陷的情況，從結構的能量表達式出發，推導了二者之間的數學關係。具體做法是：針對具有任意多自由度和任意參數變數（如任意荷載或初始缺陷）的結構，從結構的通用總勢能泰勒級數展開式出發，推導得出結構的切線剛度矩陣和割線剛度矩陣之間的數量關係。

基本介紹

• 中文名：割線剛度矩陣
• 外文名：secant stiffness matrix
• 同類：切線剛度矩陣
• 套用學科：力學術語
• 範疇：數理科學
• 涉及：結構力學

概念

非線性穩定性分析中常用到割線剛度矩陣與切線剛度矩陣，其中，前者用於全量形式的平衡方程，後者用於增量形式的平衡方程。切線剛度矩陣常用於判斷臨界點的穩定性和對臨界點進行分類。基於有限元法，考慮了結構可能存在初始缺陷的情況，從結構的能量表達式出發，推導了二者之間的數學關係。具體做法是：針對具有任意多自由度和任意參數變數（如任意荷載或初始缺陷）的結構，從結構的通用總勢能泰勒級數展開式出發，推導得出結構的切線剛度矩陣和割線剛度矩陣之間的數量關係。

基本原理

若把應力和應變都分解為偏張量與球張量之和：

和 分別為應力偏量和應變偏量， 和 分別為平均應力和平均應變：

對於各向同性彈性體，虎克定律可寫成：

對線性彈性體，應力偏量和應變偏量相似，比例常數為 。

現在來看彈塑性變形，根據實驗資料，假定材料的體積變化是彈性的，即 式子仍成立。塑性形變理論認為應變偏量和應力偏量仍相似，不過，相似係數 是與變形狀態有關的一個量：

當 時， 式子就是虎克定律。等效應力和等效應變可通過偏量分別表示為

和

將式子 代入 和 兩式，可以得到：

其中 是割線模量，是由單向拉伸壓縮的應力-應變曲線確定的。

此時由 、 、 、 、 和 這些式子，可得：

由條件 ，可以求得彈塑性狀態的泊松比：

式子成為 ，它形式上是與彈性體的虎克定律是一致的，不過對線性彈性體而言，彈性模量 和泊松比是常量，而式子中的割線模量和泊松比是隨應力、應變狀態而變化的，則彈塑性體的單元的割線剛度矩陣為。