剩餘類環

剩餘類環是有理整數環的剩餘類環Z/mZ的推廣。設{F，S}為普通算術域，且F對S中每一賦值的剩餘類域均為有限域，設O為F的S整數環，A，B為O的理想，記N(A)=#(O/A)，稱為A的範數，它是積性的，O/A有許多類似於Z/mZ的性質：1.bx≡c(mod A)有解若且唯若(b，A)除盡c，且模A/(b，A)解惟一(式中b，c，x∈O)；2.以Φ(A)記環O/A中單位元個數，若(A，B)=1，則Φ(AB)=Φ(A)Φ(B)，且Φ(A)=N(A)∏(1-1/N(p))，式中p|A過素理想∑Φ(B)=N(A)，式中B|A過理想；3.若b∈O，(b，A)=1，則b≡1(mod A)。

基本介紹

• 中文名：剩餘類環
• 外文名：ring of residue classes
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：數論(代數數論)
• 相關概念：剩餘類域、整數環、範數等

定義

設A是環R的一個理想，若把A，R看作加群，這樣A是R的一個不變子群，且由A的陪集a+A=[a]，b+ A=[b],..作成R的一個分類，這些類叫做模A的剩餘類。而所有這些類組成的集作成一個環，叫做模A的剩餘類環，記作R/A。

比如，(n)是Z的一個理想，由(n)的陪集0+(n)=[0]，1+(n)=[1]，2+(n)=[2]，...，n-1+(n)= [n-1]作成Z的一個分類，且集合{[0]，[1],...,[n-1]}作成一個剩餘類環Z/(n),也就是Z_n。可見，一般的剩餘類環是模n的剩餘類環Z_n的推廣。

實例分析

我們將給出剩餘類環這個重要概念的另一個實例。令F是一個實數域，並且考慮環F[x]中的理想n= (x+1)，如果f(x)是F[x] 的任意元素，那么由除法變換我們有：f(x)=g(x)(x+1)+a+bx，此處a和b都是實數，因此，對模n的每一個剩餘類所包含的是零或者至多是一次的多項式，而且a+bx和c+dx在不同的剩餘類中，除非是a=c和b=d，因為除了在這種情況下，a+bx≡c+dx(n)是不可能的，這樣F[x}/n的不同元素的確就是剩餘類

由F[x]/n中加法和乘法的定義，我們看到

和

上面的第一式是明顯的，而第二式由觀察式：(a+bx)(c+dx)=ac-bd+(ad+bc)x+bd(x+1)，所以(a+bx)(c+dx)=(ac-bd)+(ad+bc)x(n)，讀者必須注意這些公式與複數的加法和乘法的普通規則的相似性——事實上，環F[x]/(x+ 1) 就是複數域，除了使用的符號以外，實質上是相同的。

另外一個實例可能是有趣的，令是一個整數環，而m是多項式環中的理想(2，x+x+1)，利用前面例子的論證，以x+x+1代替x+1，可以看出，對模m的任一個剩餘類包含一個形如a+bx的元素，此處a和b都是整數，然而在這種情況下，m包含整數2，因而每一個整數對模m的同餘不是0就是1，因此剛好有4個剩餘類，就是

而且因為x(x+1)=1+(x+x+1)-2≡1(m)，我們看到

所以的每一個非零元素有一個逆元，因此是一個域，這就是我們的第一個有限域的實例，它不是的形式，此處p是一個素數，事實上，可以證明，雖然我們省略這個證明，那就是對於適當選擇的理想m，則任何有限域都可以象剩餘類環一樣而得到。

相關定理

定理1

(環同態基本定理)設A是環R的一個理想，則R~R/A；反之，設環R與環同態，則同態映射的核A是R的一個理想，且。

比如，整數環Z與模n的剩餘類環Z_n同態，即Z~Z_n；反之，如是Z到Z_n的同態滿射，即，且的核A=(n)，所以。

定理2

若環~環，則

①R的一個子環S的象是的一個子環；

②R的一個理想A的象是的一個理想；

③的一個子環的逆象S是R的一個子環；

④的一個理想的逆象A是R的一個理想。